第11讲 等差与等比数列 讲义-2022届高三数学二轮复习专题.docx

第11讲 等差数列与等比数列 一、 学习目标： 1. 掌握等差数列、等比数列的性质及通项公式、前项和等相关知识； 2. 理解数列是一类特殊的函数，体会数列与函数的区别； 3. 加强数列中的基本运算，体验化归思想的运用. 二、 典例分析 例1．（1）已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（ ） A．0 B．1 C ．2 D．4 （2）若，是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于_______. 【答案】（1）D； （2）9. 变式： 1．已知三个不全相等的实数，，成等比数列，则可能成等差数列的是（         ） A． B． C． D． 【答案】B 2．记递增数列的前项和为.若，，且对中的任意两项与（），其和，或其积，或其商仍是该数列中的项，则（        ） A． B． C． D． 【答案】D 例2．（1）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，设，的前项和分别为， ，若，，则_______，______. （2）已知数列与均为等差数列，且，则_____． （3）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等比数列； ②数列是等比数列； ③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】【答案】（1），； （2）； （3）选①②作条件证明③： 设，则， 当时，，所以， 当时，， 因为也是等比数列，所以，解得，所以． 变式： 1．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则的值是_______． 【答案】 2．已知等差数列的公差为，前项和为，且数列{}也是公差为的等差数列，则________. 【答案】 例3．（1）如图，点列、分别在某锐角的两边上，且，，，，，.（），若，为的面积，则（ ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 （2）如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是____________. 【答案】（1）A； （2）. 变式： 1.如图,已知四面体 ABCD，分别在棱 AD，BD， BC 上取 n+1(n∈N*，n≥3) 等分点，形成点列 ，，，过，，（k=1，2，…，n）作四面体的截面，记截面的面积为 Mk，则（ ） A.数列{Mk}为等差数列 B.数列 {Mk} 为等比数列 C.数列 为等差数列 D.数列 为等比数列 2．设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为（ ） A．是等比数列 B．或是等比数列 C．和均是等比数列 D．和均是等比数列，且公比相同 【答案】D 例5．（1）已知等差数列满足，则的最大值为（ ） A． B．3 C． D． （2）已知等差数列满足：，，数列的前项和为，则的取值范围是__________，满足的的取值集合是__________． 【答案】（1）D； （2），. 变式： 1．已知数列为等差数列，且，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 2.己知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 例6.已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是与的等差中项.数列的前项和为，且. 求证：（1）数列是等差数列；（2）. 【答案】（1）设数列的公比为，则，解得或(舍去)， 即得； 由，当n≥2时，， 两式相减得， 解得，而b1+1=2a1-2，即b1=1满足上式，所以， 故，于是为定值， 因此数列是等差数列； （2）令，则，即， ，即， ，， 所以. 三、 课外作业 1．已知等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（        ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 2．已知无穷数列是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n项和为，则（        ） A．数列不可能是等差数列 B．数列不可能是等差数列 C．数列不可能是等差数列 D．数列不可能是等差数列 【答案】D 3．已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（        ） A．若，则数列单调递增 B．若，则数列单调递增 C．若数列单调递增，则 D．若数列单调递增，则 【答案】D 4.设等比数列的前项和为，且．若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 5．设是等差数列，为其前项和.若正整数，，，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 6．已知非常数列满足，若，则 A．存在，，对任意，，都有为等比数列 B．存在，，对任意，，都有为等差数列 C．存在，，对任意，，都有为等差数列 D．存在，，对任意，，都有为等比数列 7．已知等差数列，等比数列的公比为，设，的前项和分别为，．若，则__________． 【答案】 8．将公差不为零的等差数列，，调整顺序后构成一个新的等比数列，，，其中，则该等比数列的公比为________． 【答案】或 9．设是首项为，公差为的等差数列（），是前项和. 记，，其中为实数. （1）若，且，，成等比数列，证明：； （2）若是等差数列，证明. 【答案】（1）由，得， 又，，成等比数列，∴，即， 化简得， ∵，∴. 因此，从而对所有，. （2）设数列的公差为，则，即，， 代入得， 令，，，则对于所有的有， 在上式中取， ∴ 从而有，由②③得，代入①得， 从而，即，，， 若，则由得，与题设矛盾， ∴，又，∴. 10．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】选①②作条件证明③： 设，则， 当时，； 当时，； 因为也是等差数列，所以，解得； 所以，，故. 学科网（北京）股份有限公司