第2章 直线和圆的方程 知识梳理-2022-2023学年高二数学上学期期中挑战满分冲刺卷（人教A版2019选择性必修第一册浙江专用）.docx

第2章 直线和圆的方程 知识梳理 一、直线的倾斜角、斜率与方程 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角； (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}. 2.直线的斜率 (1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α. (2)计算公式 ①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝. ②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 常用结论; 1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系： α 0 0<α< <α<π k 0 k>0 不存在 k<0 2.截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数. 二、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 4.对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′. 常用结论： 1.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2”＝0. 2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在. 三、圆的方程 1.圆的定义和圆的方程 定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内. 常用结论: 1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2. 2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 四、直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r， 则圆心距d＝|C1C2|＝. 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2 图示 公切线条数 4 0 2 1 3 常用结论： 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·. 第 7 页 共 7 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司