第12讲 函数的单调性（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册上海专用）.docx

第12讲 函数的单调性 知识梳理与应用 主要考察一：单调性的定义 1、函数单调性的定义： 对于定义在上的函数，设区间是的一个子集，对于区间上任意给定的两个自变量， 当时总有，则称函数在区间是严格增函数，此时称区间为函数的严格增区间； 当时总有，则称函数在该区间是严格减函数，此时称区间为函数的严格减区间． 此外，如果总成立，就称函数在区间是增函数；二如果总成立，就称函数在区间是减函数. 上述性质统称为函数的单调性. 2、函数单调性的两种等价定义 对于区间上任意给定的两个自变量， （1）在上是增（减）函数； （2）在上是增（减）函数． 基础1：定义法证明单调性 【例1】（2021·上海市行知中学高一月考）★☆☆☆☆ 已知函数． （1）证明：函数在上严格增函数. 【详解】 （1）任取， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上严格增函数. 【练习】（2021·上海市西南位育中学高一期末）★★☆☆☆ 已知，判断函数的单调性并证明. 【答案】为上的增函数，证明见解析. 【详解】 ，函数为上的严格增函数，证明如下： 任取、，且， ， ，，，即， 因此，函数为上的增函数. 主要考察二：函数单调性的判断 基础1：函数运算判断单调性 两个函数在给定区间上都有意义，则 增+增=增； 增-减=增； 减+减=减； 减-增=减. 若函数的函数值恒为正数，则 1/增=减；1/减=增. 【例2】（2021·上海市大同中学高一期末）★☆☆☆☆ 判断函数的单调性并说明理由. 【答案】单调递增 【详解】 函数是严格增函数； 因为函数在上严格单调递增，函数在上严格单调递减，则由单调函数的运算性质可知，函数是严格增函数. 【例3】（2019·上海市进才中学高一月考）★★☆☆☆ 函数的最大值为______． 【答案】1 【详解】 由可得， ， 因为恒大于0，且在严格单调递增， 所以在严格单调递减， 所以时最大为， 故函数的最大值为， 故答案为： 【练习】（2019·上海市七宝中学高一月考）★★☆☆☆ 函数的最大值为________. 【答案】 【详解】 函数的定义域为， 函数在上是增函数， 函数在上是减函数， 根据结论：增函数减函数增函数， 函数在上是增函数， 当时，函数有最大值， 故答案为： 基础2：复合函数的单调性 设在区间上，的值域为， 若在区间上的单调性和在区间上的单调性相同，则复合函数是严格增函数； 若在区间上的单调性和在区间上的单调性不同，则复合函数是严格减函数. 即“同增异减”. 【例4】（2021春•徐汇区期末）★★☆☆☆ 函数的单调减区间是 　　． 【答案】 【解答】解：函数的单调减区间，即，在的条件下，函数的增区间． 利用二次函数的性质可得，在的条件下，函数的增区间为， 故答案为：． 【例5】（2021春•徐汇区校级期中）★★★☆☆ 已知函数在，上单调递减，则实数的取值范围是　　． 【答案】 【解答】解：因为函数在，上单调递减， 所以，，且， 所以，，所以，的取值范围为． 【练习】（2017·上海市晋元高级中学高一月考）★☆☆☆☆ 函数的严格增区间是______． 【答案】 【详解】 令,则, 由题知:,解得或, 故函数在上单调递减,在上单调递增, 又在定义域上单调递增, 所以函数在上单调递减,在上单调递增, 故答案为:. 【练习】（2020秋•浦东新区校级期末）★★★☆☆ 已知函数，若函数在严格增函数，则实数的取值范围是　　 ． 【答案】 【解答】解：在严格增函数， ，解得或， 的取值范围是． 故答案为：． 基础3：分段函数的单调性 【例6】（2019秋•浦东新区校级期末）★★★☆☆ 若函数严格递增，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C． D． 【答案】 【解答】解：函数单调递增， 由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得且． 但应当注意两段函数在衔接点处的函数值大小的比较， 即，可以解得， 综上，实数的取值范围是，． 【练习】（2020秋•宝山区校级期末）★★★☆☆ 函数是定义在上的单调递增函数，则实数的取值范围是 　　 ． 【答案】 【解答】解：时，函数为，一次函数是增函数， ，解得 又时，函数为，对数函数是增函数， 同时，当时，一次函数的取值小于或等于对数函数的取值， 故，解之得， 综上所述，可得实数的取值范围是. 进阶1：抽象函数的单调性 【例7】（编者精选）★★★★★ 定义在上的函数满足①对任意，都有；②当时，有．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】 证明：对f(x)+f(y)=f()中的x，y，令x=y=0，得f(0)=0， 再令y=－x，又得f(x)+f(－x)=f(0)=0，即f(－x)=－f(x)， ∴f(x)在x∈(－1，1)上是奇函数. 设－1＜x1＜x2＜0，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f()， ∵－1＜x1＜x2＜0，∴x1－x2＜0，1－x1x2>0. ∴＜0，又， 所以， 所以由②知f()>0，从而f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 故f(x)在x∈(－1，0)上是单调递减函数,根据奇函数的图像关于原点对称， 知f(x)在x∈(0，1)上仍是递减函数，且f(x)＜0, ， ， ， 时，， ，故原不等式成立. 【练习】（2019·上海普陀区·曹杨二中高一月考）★★★★☆ 已知是定义在R上不恒为0的函数，且满足对任意，．判断的奇偶性和单调性，并说明理由； 【答案】（1）0；（2）奇函数，递增，理由见解析； 【详解】 （1）记①，②， 在①中取得． 若存在，使得， 则对任意，， 与不恒为0矛盾． 所以时，，所以函数的零点是0 （2）在①中取得， 即． 所以是奇函数． ，，时， ，可得． 所以函数在上递增． （3）①由中取，得（1）（1）． 因为（1），所以（1）， 对任意正整数，由①，， ， 又因为，所以时，； ②对任意有理数，，由①， ， 所以，即对一切，． 若存在，使得，不妨设（否则以代替，代替即可）， 则存在有理数，使得（例如可取，，． 但，与的递增性矛盾． 所以时，． 综合类型 综合1：根据单调性解函数不等式 （1）单调奇偶混合型 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性. 【例8】（2020·上海市实验学校高一期末）★★★☆☆ （2020·上海市实验学校高一期末）已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是______. 【答案】 【详解】 是偶函数，， ∴不等式等价为， 在区间单调递增， ，解得. 故答案为：. 【例9】（2020·上海高一期末）★★★★☆ 已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则关于x的不等式的解是________. 【答案】 【详解】 因为，所以. 因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增. 设，在上为偶函数，且在上单调递增. 所以，即. 所以，解得. 故答案为：. 【练习】（2017·上海高一期末）★★★☆☆ （2017·上海高一期末）已知函数是上的奇函数，且在区间单调递增，若，则不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】 函数是上的奇函数，在区间单调递增 ∴函数在上单调递增，且， ∵，即． ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 那么：，即或， ∴得：或． 故答案为：． （2）单调特值混合型 【例10】（2017·上海高三一模改）★★★★☆ 不等式的解集是__________. 【答案】A 【详解】构造函数由在是减函数，及，可得.故选A. 【练习】（2020·上海高三一模）★★★★☆ 设，则不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】 由题意，函数， 根据初等函数的性质，可得函数为单调递减函数，且， 则不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 1、（2018·上海格致中学高一期中）★★★☆☆ 已知函数,若在上是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】 根据题意，设，则， 若在上是增函数,则 在上为增函数，且恒成立， 则有,解可得, 即的取值范围为． 2、（2020·上海曹杨二中高一月考）★★★☆☆ 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】 解：因为是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减,由偶函数的对称性可知，函数在区间上单调递增， 解得即， 故答案为：. - 15 - 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！