第14练 函数的单调性 核心考点练-2021-2022学年人教A版（2019）必修第一册.docx

第14练 函数的单调性 一、单选题 1.函数f(x)=2x的单调递减区间为(　　) A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)∪(0,+∞) C.(-∞,0),(0,+∞) D.(0,+∞) 【答案】C 【解析】画出函数的图象知,函数以原点为对称中心,在(-∞,0),(0,+∞)均是减函数. 故选C. 2.设函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则　(　　) A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a) C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a) 【答案】D 【解析】因为a2+1-a=a−122+34>0,所以a2+1>a,又因为函数f(x)在(-∞, +∞)上为减函数,所以f(a2+1)<f(a). 故选D. 3.下列函数中,在R上是增函数的是(　　) A.y=|x| B.y=x C.y=x2 D.y=1x 【答案】B　 【解析】选项A,y=|x|,当x<0时为减函数,故错误;选项C,y=x2,当x<0时为减函数,故错误; 选项D,y=1x在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,故错误.故选B. 4.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,若a,b∈R且a+b>0,则有　(　　) A.f(a)+f(b)>-f(a)-f(b) B.f(a)+f(b)<-f(a)-f(b) C.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) 【答案】C 【解析】因为a+b>0,所以a>-b,b>-a.由函数的单调性可知,f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),两式相加得选项C正确. 故选C. 5.下列说法中,正确的有(　　) ①若任意x1,x2∈I,当x1<x2时,f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则y=f(x)在I上是增函数; ②函数y=x2在R上是增函数; ③函数y=-1x在定义域上是增函数; ④函数y=1x的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞). A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C　 【解析】当x1<x2时,x1-x2<0,由f(x1)-f(x2)x1-x2>0知f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2),①正确;反比例函数y=1x的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞),④正确.②③均不正确. 故选C. 6. 下列有关函数单调性的说法，不正确的是(　　) A.若f (x)为增函数，g(x)为增函数，则f (x)＋g(x)为增函数 B.若f (x)为减函数，g(x)为减函数，则f (x)＋g(x)为减函数 C.若f (x)为增函数，g(x)为减函数，则f (x)＋g(x)为增函数 D.若f (x)为减函数，g(x)为增函数，则f (x)－g(x)为减函数 【答案】C 【解析】∵若f (x)为增函数，g(x)为减函数，则f (x)＋g(x)的增减性不确定.例如：f (x)＝x＋2为R上的增函数，当g(x)＝－x时，则f (x)＋g(x)＝＋2为增函数；当g(x)＝－3x，则f (x)＋g(x)＝－2x＋2在R上为减函数.∴不能确定f (x)＋g(x)的单调性.故选C. 二、多选题 7.如图所示是函数y＝f(x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为[－4,4) B．函数f(x)的值域为[0，＋∞) C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应 答案：BD　 解析：对于A，由函数的图象可知，函数的定义域为[－4,0]∪[1,4)，故A错误； 对于B，由函数的图象可知，函数的值域为[0，＋∞)，故B正确； 对于C，函数在[－4,0]，[1,4)是增函数，结合图象可知，此函数在定义域内不是增函数，故C错误； 对于D，由函数的图象可知，对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应，故D正确． 8.如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　) A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D．>0 【答案】ABD　 【解析】因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)． 三、填空题 9.若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________． 【答案】[－1，＋∞)　 【解析】函数f(x)＝的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1. 10．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________． ①y＝a＋f(x)(a为常数)； ②y＝a－f(x)(a为常数)； ③y＝；④y＝[f(x)]2. 【答案】②③ 【解析】f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0时，－f(x)，均为递增函数，故选②③. 11.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，若函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值(或取值范围)是__________；若函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的值(或取值范围)是__________． 【答案】－3 (－∞，－3] 【解析】因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3；因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3． 四、解答题 12.已知函数. （1）求它的定义域和值域； （2）用单调性的定义证明:在上单调递减. 【解析】（1）解:函数的定义域是, 当时,, 当且仅当即时等号成立, 当时,,, 即，当且仅当,即时等号成立； ∴函数的值域是 （2）证明:设, 则 ∵， ∴， ∴ ， ∴,即， ∴在上单调递减.