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初等
函数
性质
江西省
赣州市
外国语学校
2021
年强基
计划
拔尖
人才
选拔
数学
讲义
2021年强基计划拔尖人才选拔培优
1、映射
对于任意两个集合,依对应法则,若对中的任意一个元素在中都有唯一一个元素与之对应,则称为一个映射,记作其中称为像,称为原像。
如果是一个映射且对任意都有则是到上称之为单射.
如果是映射且对任意都有一个使得则称是到上的满射.
如果既是单射又是满射,则是到上叫做一一映射.
如果是从集合到集合上的一一映射,并且对于中每一个元素,使在中的原像和它对应,这样所得的映射叫做的逆映射,记作
2、函数方程问题
(1)代换法(或换元法)
把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不会发生变化),得到一个新的函数方程,然后设法求得位置函数
例.设求的解. (【解析】分别用带入)
(2)待定系数法
当函数方程中的未知数是多项式时,可待定系数而求解.
例.已知是一次函数,且,求. (【解析】设求解)
3、函数对称性以及周期性
1)已知函数,若函数图像与图像关于:
直线对称,则;
直线对称,则;
点对称,则。
2)已知函数图像关于:
直线对称,则;
点对称,则,即。
3)常用:若函数图像与图像关于:
轴对称,则;
轴对称,则;
原点对称,则。
4)若,则图像关于直线对称;
若,则图像关于点对称;
若与关于直线对称;
5)若,则函数是以为周期的函数。
6)若,则,即;
若,则,即;
若,则,即。
7)若关于直线和对称,则为以为周期的周期函数;
若关于点和对称,则为以为周期的周期函数;
若关于点和对称,则为以为周期的周期函数。
4、抽象函数问题的解法
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号极其满足的条件的函数,如给出定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等,它是高中函数的难点,也是与高等数学函数部分的一个衔接点。
(1)函数性质法
函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性、周期性等)反映出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,才能够将抽象函数问题化难为易。常用的方法有:①利用奇偶性整体思考;②利用单调性等价转化;③利用周期性回归已知;④利用对称性数形结合;⑤借助特殊点列方程。
(2)特殊化方法
① 在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将换成或将换成其他字母等;
② 在求函数值时,可用特殊值代入;
③ 研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题、填空题,或通过具体模型函数为解答综合题提供思路和方法。
5、函数的迭代
一个函数的自复合,叫做迭代。我们用表示的次迭代函数。
即,如果 则称有迭代周期
迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。一般来说,若的图像关于直线对称,则一定有.它的迭代周期就是2.下面是几个常见函数的迭代周期。
迭代周期是3;迭代周期是4;
6、凹凸函数
设为定义在区间上的函数,若对上任意两点、和实数总有则称为上的凸函数(有时也称下凸函数)。反之,如果总有不等式则称则称为上的凹函数(有时也称上凸函数)。
特别地,时,有(凸函数)或(凹函数)。
如何判断一个函数是凸函数(凹函数)?除了定义以外,还有下面的定理:
设为上二阶可导函数,则为上的凸(凹)函数的充要条件是
凸函数更一般的情形是下面的琴生不等式:若为上的凸函数,则对任意
,且则
1.(2019浙大)14.定义在上的偶函数满足,求的值。
解析:由得,
令,则,则,所以是以2位周期的函数,也是偶函数,则,且,所以,
即,且因为,得,所以。
2.2018联赛A,B 9、已知定义在上的函数为,设是三个互不相同的实数,满足,求的取值范围。
★解析:不妨设,由于在上递减,在上递增,在上递减,且,,结合图像知:,,,且。
由得,即,此时,
又,由得,所以。
3.(2018清华)29.若函数满足:对任意的三角形的三边长,也能构成三角形的三边长,则称函数具有性质,则下列说法正确的是( AB )
A. 具有性质 B. 不具有性质
C. 具有性质 D. 具有性质
解析:不妨设,则,即,显然,
即具有性质,所以A正确;
对B,若取,显然,即不具有性质,故B正确;
对C,取,显然,即不具有性质,故C错;
对D,取,显然有,即不具有性质,故D错。
综上,选AB。
4.(2018北大博雅)8.用表示不超过实数的最大整数,例如,。设为正整数,用表示当时,函数的值域中的元素的个数,则使得最小的的值为( D )
A. B. C. D. 前三个答案都不对
解析: 令,(且,)则
当时,;
当时,,则有个值。
所以,
所以
当或时取等号,
而,且,
所以时,取最小为,故选D。
5.(2018中科大)3.设,则的最小值为
答案:
【解析】(当且仅当)
6.(2018中科大)6.已知定义在上的函数是单射,对任意,有,,则
答案:
【解析】令,则,由得,即,由是单射得,即,,所以
7.(2017北大博雅)6.已知,定义,,,则的值等于( C ).
A. B. C. D. 前三个答案都不对
解析:列举可得是的一个迭代周期,又,
所以,选C.
8 . 2016B 4、已知,均为定义在上的函数,的图像关于直线对称,的图像关于点中心对称,且,则的值为
◆答案:
★解析:由条件知 ①
②
由图像的对称性,可得结合①知,
③
由②、③解得从而
另解:因为, ①
所以 ②
因为的图像关于直线对称,所以 ③
又因为的图像关于点中心对称,所以函数是奇函数,,,从而 ④
将③、④代入①,再移项,得 ⑤
在⑤式中令,得 ⑥
由②、⑥解得于是
9. (模拟题)已知是定义在上的不恒为的函数,且对于任意的,有
.
(1)求的值.
(2)判断的奇偶性,并证明你的结论.
(3)若,求数列的前项和.
【解析】(1)令,则;令,则,
。
(2)令则
再令则
故,即是奇函数。
(3)当时,.
令则有
故,
故
又因为
故. .
10.求函数 的最小值
解析:
当时,
,
当时,,递减;
当时,,递增;
所以当时,取得最小值
。
1. (2006复旦)设且下列不等式中成立的是( )
① ②
③ ④
①③ ①④ ②③ ②④
【解析】选B这是一道和凸函数有关的问题,分别画出,的草图。由图像可知是下凸函数,是上凸函数,故选B
2.(2018复旦)1.设,求函数的最小值;
解析:,
令,则即。
3.(2015清华)4、设函数的定义域为,且满足:①;
②。则为(AC )
A.奇函数 B.偶函数 C.减函数 D.有界函数
解析:②中,令,得,令,得得为奇函数。
当时,由于,所以。故函数在上递减,加上奇函数,知函数的定义域内递减,故选AC。
4.(2014北约)3.已知函数满足,,,则( A )
A. B. C. D.
解析:观察等式可知,函数显然为线性一次函数,可设代入求得从而
5、(2009清华)求证:
【解析】本题考查的是前文中证明函数是凸函数的充要条件。首先构造函数
先证明它是凸函数。事实上故是上的凸函数,从而证毕!
6、(2007交大)已知函数对于定义若则.
【解析】本题考查迭代周期问题。计算得
故以6为周期. 注:条件可以不用。
7、(2007北大)求
【解析】
故,所以
.
8. 设
且,则的值有( )
【解析】因为,故为偶函数.在时,有
.当时,
恒有 故选!
9.(2018北大博雅)18.的最小值所属区间为( C )
A. B. C. D. 前三个答案都不对
解析:注意到,记,则
即为动点到定点和的距离之和,显然
(当且仅当共线时取等号)。接下来,记,,
则即为动点到定点的距离之和,
所以(当且仅当共线即,即取等号),所以的最小值为,故选C。
10.(2016清华)10.定义在上的函数,满足:
①;
②对任意实数,;
③存在大于零的常数,使得,且当时,,。则( ABD )
A. B. 当时,
C.函数在上无界 D.任取,
解析:令,得,,又得,故A对;
令,得,当时,,,所以,
,所以,,故,B对;
又,知函数在上有界,C错;
令得,D对;
综上,选ABD。
11、(模拟题)已知是定义在上的函数,且
(1)试证明是周期函数;
(2)若试求
【解析】(1)又条件可知故用换上式的,得
所以,即是以8为周期的周期函数。
(2).
1.(2019上海交大)11.对定义域内任意实数,若满足,则称为凸函数,下列函数是凸函数的是( )
A. B. C. D.
解析:作图可知,AD满足。
2.(2019上海交大)1.已知函数,且,求的值。
解析:因为,则。
3.(2018复旦)14.若函数满足(),求
解析:分别取及可以解得。
4.(2017北大自招)2.函数在区间上的最大值与最小值的差位于区间是(B )
A. B. C. D.前三个都不对
解析:展开成分段函数可得最大值为,最小值为,得差为,故选B。
5.(2005交大)函数的最大值为最小值为求实数、.
【解析】即.
显然,这个关于的方程必有实数根,从而有
。根据题意,
故,所以解得.
6、(2002交大)函数有且
求满足的关系;
证明:存在这样的使
【解析】因为有且所以,且
(因为),
故即
令而故在之间必有一解,所以存在,是的
7、(2007复旦)若且则
不是与无关的常数
【解析】选D. 由得故
8、(2005复旦)定义在上的函数满足,
则
【解析】 令令
9、设
且,则的值有( )
【解析】因为,故为偶函数.在时,有
.当时,
恒有 故选!
10、(模拟题)求函数在区间上的值域.
【解析】,值域为
11、(模拟题)已知是一次函数,且.求
【解析】设则有
.
依此类推有:
由题设可得:故解得.
所以或.
12、(2008交大)已知函数且没有实数根.那么是否有实数根?并证明你的结论.
【解析】法一:利用,得到,故没有实数根(本方法计算量过大)
法二:若则对一切恒成立.
故有;
同理时则对一切恒成立.
故有;所以没有实数根
13、(模拟题)已知且当时有.求
【解析】把已知条件中的等式进行整理,得到:
把依次用代换,得:
上述的个等式相加,可以得到:
所以 故
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