学科网（北京）股份有限公司第13讲数列的综合应用一、学习目标1.掌握数列的通项与求和问题.2.掌握常见的数列与不等式问题；3.学会用函数观点看数列问题.二、典例分析例1．（1）已知数列的前n项和，若数列单调递减，则λ的取值范围是（）A．(－∞，2)B．(－∞，3)C．(－∞，4)D．(－∞，5)【答案】A（2）若无穷数列的通项公式为，，则数列的项中（）A．有最小项，无最大项B．有最大项，无最小项C．既有最小项，也有最大项D．既无最小项，也无最大项【答案】C变式：1．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）A．，B．C．，D．【答案】D例2．设数列的前项和为，．（1）求的值及数列的通项公式；学科网（北京）股份有限公司（2）是否存在正整数，使得.若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）当时，，则；当时，，则；①，则时，舍去；当时，，故，符合条件；而时，，，则不可能为整数；②，则时，；当时，，则都符合条件；当时，，舍去；而时，，则不可能为整数，综上所述，存在，.变式：1．已知数列中，，．学科网（北京）股份有限公司（1）求证：数列是等比数列；（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数．【答案】（1），故，因为，故，故，故，所以是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得．由，得，则，所以因为为减数列，为减数列，故递减，当时，，满足；时，，所以时，总成立，不满足要求，舍，又，同理，当且仅当时，，学科网（北京）股份有限公司综上所述，满足的所有正整数为1和2．例3．已知数列中，，满足.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以.(2)，若对于恒成立，即，可得即对于任意正整数恒成立，所以，令，则，所以，可得，所以，所以的取值范围为.变式：1．已知数列的前n项和为，，且.学科网（北京）股份有限公司（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.例4.（1）已知两个等比数列，，满足，，，若数列唯一，求的值；（2）是否存在两个等比数列，，使得成公差不为的等差数列？若存在，求，的通项公式；若不存在，说明理由．【答案】（1）要唯一，当公比时，由且，，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根），此时满足条件的a有无数多个...
