第02讲 平面向量的数量积及其应用（练习）（解析版）.docx

第02讲 平面向量的数量积及其应用 （模拟精练+真题演练） 1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知向量（2，1），（，3），则向量在方向上的投影向量为（　  　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量（2，1），（，3）， 所以向量在方向上的投影向量为 ， 故选：C 2．（2023·北京·统考模拟预测）若向量，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 又因为，所以，即与的夹角等于. 故选：D 3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量，满足，且，，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】，所以， 故选：D 4．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ， . 故选：C. 5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（    ）    A．1 B．-2 C．2 D． 【答案】C 【解析】由题知，为正三角形，所以，所以. 故选：C 6．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）在当中，且，已知为边的中点，则（    ）. A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为边的中点，所以， 即， 而，，， 故，所以. 故选：D 7．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，得， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C 8．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）如图直线l以及三个不同的点A，，O，其中，设，，直线l的一个方向向量的单位向量是，下列关于向量运算的方程甲：，乙：，其中是否可以作为A，关于直线l对称的充要条件的方程（组），下列说法正确的是（    ）    A．甲乙都可以 B．甲可以，乙不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲乙都不可以 【答案】A 【解析】对于方程甲：因为、为、在方向上的投影， 可得表示点A，到直线l的距离相等， 则点A，分别在关于直线l对称的平行线上，    因为，可得，则， 且，可得， 所以A，关于直线l对称，反之也成立，故甲满足； 对于乙：在中，因为， 则为边的中线所在的直线，且点A在直线上的投影为的中点， 所以A，关于直线l对称，反之也成立，故乙满足； 故选：A. 9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（    ） A．45° B．60° C．135° D．150° 【答案】C 【解析】∵，， ∴.∵， ∴，，则， 设向量与的夹角为，与反向,则. 故选：C. 10．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在中，点D，E满足，，且．若，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，作图如下，    由，可得， 所以，即，也即， 又因为, 所以， 所以， 所以， 当且仅当时取得等号， 所以， 所以结合选项的可能值为， 故选：D. 11．（多选题）（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为 D．若向量与非零向量共线，则 【答案】AD 【解析】由题意知，，， 则，因此A正确； 在方向上的投影向量为 ，因此B错误； 与垂直的单位向量的坐标为 或，因此C错误； 因为，， 若向量与向量共线，则， 解得，因此D正确. 故选：AD. 12．（多选题）（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知，下列结论正确的是（    ） A．与向量垂直且模长是2的向量是和 B．与向量反向共线的单位向量是 C．向量在向量上的投影向量是 D．向量与向量所成的角是锐角，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】对于A，向量的模不符合，故A不正确. 对于B，向量的相反向量为，与相反向量同向的单位向量是，故B正确. 对于C，向量在向量上的投影为， 与向量同向的单位向量，所以向量在向量上的投影向量是，故C正确. 对于D，时，向量与同向共线，夹角为0，不是锐角，故D不正确. 故选：BC. 13．（多选题）（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为，所以，所以， 又因为，所以, 所以，所以，A错误； 因为△ABC是边长为2的等边三角形， 所以的夹角为，即的夹角为， 所以， 所以，B正确； ，C正确，D错误； 故选:BC. 14．（多选题）（2023·广东汕头·统考二模）在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（    ） A． B． C．的余弦值为 D． 【答案】ABD 【解析】连接PC，并延长交AB于Q， 中，，，， 则，, ， ， ， 选项A: .判断正确； 选项B: .判断正确； 选项C: .判断错误； 选项D: . 判断正确. 故选：ABD 15．（多选题）（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记，则（    ）    A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】BC 【解析】，故A错误； 因为，故B正确； ，又，所以，故C正确； 在方向上的投影向量为，故D错误. 故选：. 16．（2023·陕西西安·统考模拟预测）若向量，不共线，且，则________. 【答案】 【解析】因为向量，， 所以， 因为， 所以， 所以或， 又向量，不共线， 所以，所以， 所以，即， 所以， 故答案为：. 17．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知向量，，若，则向量在上的投影向量的模长为___________. 【答案】 【解析】因为向量，，，，     若，则， 即，即，解得:, 向量在上的投影向量的模长为: . 故答案为：. 18．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知正六边形的边长为1，为边的中点，为正六边形的中心，则______． 【答案】 【解析】根据题意得，，， 故． 故答案为： 19．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知向量，，，满足，且，，则＝______． 【答案】 【解析】， 所以，， 以向量的起点为原点，向量的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系， 不妨设， 则，，设    ∵， 所以或， 或， 则或， 故答案为：． 1．（2023•乙卷（文））正方形的边长是2，是的中点，则　　 A． B．3 C． D．5 【答案】 【解析】正方形的边长是2，是的中点， 所以，，，， 则． 故选：． 2．（2023•甲卷（文））已知向量，，则，　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】根据题意，向量，， 则，， 则有，，， 故，． 故选：． 3．（2023•甲卷（理））向量，，且，则，　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】因为向量，，且，所以， 所以， 即，， 解得，， 所以， 又，， 所以， ， 所以，． 故选：． 4．（2022•乙卷（文））已知向量，满足，，，则　　 A． B． C．1 D．2 【答案】 【解析】因为向量，满足，，， 所以， 两边平方得， ， 解得， 故选：． 5．（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 　　；若，则的最大值为 　　． 【答案】；． 【解析】在中，，，点为的中点，点为的中点，，， 则； 设，， 由余弦定理可得：， 又， 即，当且仅当时取等号， 又， 则， 则 ， 即的最大值为． 故答案为：；． 6．（2023•上海）已知向量，，则　　． 【答案】4． 【解析】向量，， ． 故答案为：4． 7．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则　　． 【答案】 【解析】，， ，， ，， ． 故答案为：． 8．（2022•天津）在中，，，是中点，，试用，表示为 　　，若，则的最大值为 　　． 【答案】；． 【解析】中，，，是中点，，如图： ． ，， ，即， 即，即， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故的最大值为， 即的最大值为， 故答案为：；． 9．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则　　． 【答案】 【解析】由题意，有，则，设， 则得，， 由同角三角函数的基本关系得：， 则， ， 则． 故答案为：． 10．（2022•浙江）设点在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 　　． 【答案】，． 【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，，， 设， 则， ，， ， ， 即的取值范围是，， 故答案为：，． 11．（2022•甲卷（文））已知向量，．若，则　　． 【答案】． 【解析】向量，．， ， 则， 故答案为：． 12．（2022•甲卷（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则　　． 【答案】11 【解析】由题意可得， 则． 故答案为：11． 17 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司