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第02讲
因式分解-初高中数学衔接讲与练
02
因式分解
高中数学
衔接
第二讲 因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.
因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.
一、公式法(立方和、立方差公式)
在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:
(立方和公式)
(立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到:
这就是说,两个数的立方和(差),等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和).
运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解.
【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式:
(1) (2)
分析: (1)中,,(2)中.
解:(1)
(2)
说明:(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时,经常要逆用幂的运算法则,如,这里逆用了法则;(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时,一定要看准因式中各项的符号.[来源:学#科#网Z#X#X#K]
【例2】分解因式:
(1) (2)
分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现,可看着是或.
解:(1) .[来源:学*科*网Z*X*X*K]
(2)
二、分组分解法
从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式,如既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.
1.分组后能提取公因式
【例3】把分解因式.
分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按的降幂排列,然后从两组分别提出公因式与,这时另一个因式正好都是,这样可以继续提取公因式.
解:
说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试.
【例4】把分解因式.
分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式.
解:
说明:由例3、例4可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.
2.分组后能直接运用公式
【例5】把分解因式.
分析:把第一、二项为一组,这两项虽然没有公因式,但可以运用平方差公式分解因式,其中一个因式是;把第三、四项作为另一组,在提出公因式后,另一个因式也是.
解:
【例6】把分解因式.
分析:先将系数2提出后,得到,其中前三项作为一组,它是一个完全平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式.
解:
说明:从例5、例6可以看出:如果一个多项式的项分组后,各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式,那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式.
三、十字相乘法
1.型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:[来源:学科网]
(1) 二次项系数是1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和.
因此,
运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.
【例7】把下列各式因式分解:
(1) (2)
解:(1)
.
(2)
说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同.
【例8】把下列各式因式分解:
(1) (2)
解:(1)
(2)
[来源:Z_xx_k.Com]
说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.
练: (3) (4)
【例9】把下列各式因式分解:
(1) (2)
分析:(1) 把看成的二次三项式,这时常数项是,一次项系数是,把分解成与的积,而,正好是一次项系数.
(2) 由换元思想,只要把整体看作一个字母,可不必写出,只当作分解二次三项式.
解:(1)
(2)
练:(1) (2)
2.一般二次三项式型的因式分解
大家知道,.
反过来,就得到:
我们发现,二次项系数分解成,常数项分解成,把写成,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到,如果它正好等于的一次项系数,那么就可以分解成,其中位于上一行,位于下一行.
这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.
必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.
【例10】把下列各式因式分解:
(1) (2)
解:(1)
(2)
说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.
练:(1) (2) (3) (4)
【例11】因式分解:
(1) (2)
分析:用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底,有时可能会多次使用十字相乘法,并且对于项数较多的多项式,应合理使用分组分解法,找公因式,如五项可以三、二组合.
解:(1)原式.
(2)原式.
练:(1) (2)
四、其它因式分解的方法
1.配方法
【例12】分解因式
解:
说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家试验.[来源:学科网]
2.拆、添项法
【例13】分解因式
分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行.细查式中无一次项,如果它能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把一次项系数合并为0了,可考虑通过添项或拆项解决.
解:
说明:本解法把原常数4拆成1与3的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例,造成可以用公式法及提取公因式的条件.本题还可以将拆成,将多项式分成两组和.
一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行:
(1) 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式;
(2) 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;
(3) 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解;
(4) 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
达标训练
A 组
1.把下列各式分解因式:
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2.把下列各式分解因式:
(1) (2)
(3) (4)
3.把下列各式分解因式:
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
4.把下列各式分解因式:
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8)
5.把下列各式分解因式:
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8)
B 组
1.把下列各式分解因式:
(1) (2)
(3) (4) (5)
2.已知,求代数式的值.
3.证明:当为大于2的整数时,能被120整除.
4.已知,求证:.
参考答案
A组
1.
2.
3.
4.
5.
.
B组
1.
.
2.
3.
4.
7
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