学科网（北京）股份有限公司第12讲递推数列问题一、学习目标：1.理解蛛网图，能用蛛网图分析数列的单调性与有界性；2.了解常见的递推关系的变形，熟悉差分结构与商分结构；3.掌握基本的数列放缩.二、典例分析：例1.（1）已知数列满足，，试分析的单调性与有界性，并证明.（2）已知数列满足，，若单调递增，则实数的取值范围是____________.【答案】（1），用蛛网图分析、数学归纳法证明；（2）.变式：1.在数列中，，，证明：.【答案】用蛛网图分析、数学归纳法证明.2.在正项数列中，，是否存在常数，使得成立？并说明理由.【答案】存在常数符合题意.例2.（1）数列满足，，则的整数部分是（）A．1B．2C．3D．4（2）数列满足：，，则的值所在区间为（）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）B；（2）A.变式：1．已知数列满足，，，则（）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】C2.已知数列满足，若，，则（）A．B．C．D．【答案】C例3．已知数列满足，且（1）证明：；（2）设数列的前项和为，证明：【答案】（1）略；（2）关键得到.变式：1．已知公差不为0的等差数列满足：，，，成等比数列，数列满足：，，（1）求数列的通项公式；（2）记数列，数列的前n项和为，证明：.【答案】（1）；学科网（北京）股份有限公司（2） ，∴单调递增，，∴，，又得：,即，又，.故.∴．2.在数列中，已知，其中.（1）求的值，并证明：；（2）证明：；（3）设，求证：.【答案】（1），，所以.当且仅当时取等号，但，∴，故.（2）学科网（北京）股份有限公司由（1）知得，于是.又，故.（3）由（2）知，令，则，当时，成立；当时，，即.综上可知，.例4.在数列中，，（1）求证：；求证：【答案】（1）略；（2），，变式：1.设数列满足，（1）求证：；（2）设数列的前项和为，求证：学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）略；（2）关键.例5．已知数列满足=且=-（）.（1）证明：1（）；（2）设数列的前项和为，证明（）.【答案】（1）由题意得，，即，，由，得，由得，，即；（2）由题意得，∴①，由和，得，∴，因此②，由①②得.三、课外作业：1．设，数列满足，，，则（）A.当时，B.当时，C.当时，D.当时，【答案】B2．在正实数数列中，，且，则的取值范围是（）学科网（北京）股份有限公司A．B．C．D．【答案】D3．已知数列满足：，.则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】B4．数列满足，，则（）A．B．C．时，D．时，【答案】C5．设数...
