2023学年甘肃省天水市五中高考数学押题试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（ ） A． B． C．6 D．8 2．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 A． B． C． D． 3．设向量，满足，，，则的取值范围是 A． B． C． D． 4．双曲线的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 5．已知函数，其中，若恒成立，则函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 6．已知复数，若，则的值为（ ） A．1 B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 8．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ） A．7 B．14 C．28 D．84 9．已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意， ，都有，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知三棱锥中，是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，存在实数，使得，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 12．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．充分不必要条件 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券,两人都未抽得特等奖的概率是__________． 14．已知向量满足，，则______________. 15．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为______. 16．双曲线的焦距为__________，渐近线方程为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值大小. 18．（12分）已知函数. （1）解不等式； （2）若函数最小值为，且，求的最小值. 19．（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升. 将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，. 3 26.474 1.903 10 209.76 14.05 （1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程. （2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量. 线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，. 参考数据： 4 5 6 7 8 的近似值 55 148 403 1097 2981 20．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求及的值. 21．（12分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A＝ (k≠0)的一个特征向量为α＝， A的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值． 22．（10分）已知三棱锥中侧面与底面都是边长为2的等边三角形，且面面，分别为线段的中点.为线段上的点，且. （1）证明：为线段的中点； （2）求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 依题意可得，再根据离心率求出，即可求出，从而得解； 【题目详解】 解：∵双曲线的离心率为， 所以，∴，∴，双曲线的焦距为. 故选：A 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 2、D 【答案解析】 根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果. 【题目详解】 设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D． 【答案点睛】 本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题. 3、B 【答案解析】 由模长公式求解即可. 【题目详解】 ， 当时取等号，所以本题答案为B. 【答案点睛】 本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题. 4、A 【答案解析】 将双曲线方程化为标准方程为，其渐近线方程为，化简整理即得渐近线方程. 【题目详解】 双曲线得，则其渐近线方程为， 整理得. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用. 5、A 【答案解析】 ，从而可得，，再解不等式即可. 【题目详解】 由已知， ，所以， ，由， 解得，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 6、D 【答案解析】 由复数模的定义可得：，求解关于实数的方程可得：. 本题选择D选项. 7、B 【答案解析】 根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k．再把点代入，求得 k的值，可得要求的双曲线的方程． 【题目详解】 ∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 8、D 【答案解析】 利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解 【题目详解】 ， 解得． ． 故选：D 【答案点睛】 本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 9、A 【答案解析】 根据题意，分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数，则不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案. 【题目详解】 解:因为函数为偶函数， 所以函数的图象关于对称， 因为对任意， ，都有， 所以函数在上为减函数， 则， 解得：. 即实数的取值范围是. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题. 10、D 【答案解析】 根据底面为等边三角形，取中点，可证明平面，从而，即可证明三棱锥为正三棱锥.取底面等边的重心为，可求得到平面的距离，画出几何关系，设球心为，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积. 【题目详解】 设为中点，是等边三角形， 所以， 又因为，且， 所以平面，则， 由三线合一性质可知 所以三棱锥为正三棱锥， 设底面等边的重心为， 可得，， 所以三棱锥的外接球球心在面下方，设为，如下图所示： 由球的性质可知，平面，且在同一直线上，设球的半径为， 在中，， 即， 解得， 所以三棱锥的外接球表面积为， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 11、A 【答案解析】 画出分段函数图像，可得，由于，构造函数，利用导数研究单调性，分析最值，即得解. 【题目详解】 由于， , 由于， 令，， 在↗，↘ 故. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 12、D 【答案解析】 充分性中，由向量数乘的几何意义得，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得，不一定有正数，使得，所以不成立，即可得答案. 【题目详解】 充分性：若存在正数，使得，则，，得证； 必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立； 所以是充分不必要条件 故选：D 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用排列组合公式进行计算,再利用古典概型公式求出不是特等奖的两张的概率即可. 【题目详解】 解:3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖, 甲、乙两人同时各抽取1张奖券, 则两人同时抽取两张共有： 种排法 排除特等奖外两人选两张共有：种排法. 故两人都未抽得特等奖的概率是： 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查古典概型的概率公式的应用,是基础题. 14、1 【答案解析】 首先根据向量的数量积的运算律求出，再根据计算可得； 【题目详解】 解：因为， 所以 又 所以 所以 故答案为： 【答案点睛】 本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题. 15、 【答案解析】 利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积. 【题目详解】 如图： 此四棱锥的高为，底面是长为，宽为2的矩形， 所以体积. 所以本题答案为. 【答案点睛】 本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断. 16、6 【答案解析】 由题得 所以焦距,故第一个空填6. 由题得渐近线方程为.故第二个空填. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2） 【答案解析】 （1）设中点为，连接、，首先通过条件得出，加，可得，进而可得平面，再加上平面，可得平面平面，则平面； （2）设中点为，连接、，可得平面，加上平面，则可如图建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值. 【题目详解】 （1）证明：设中点为，连接、， 为等边三角形， ， ，， ， ，即， ， ， 平面，平面， 平面， 为的中位线， ， 平面，平面， 平面， 、为平面内二相交直线， 平面平面， 平面DMN， 平面； （2）设中点为，连接、 为等边三角形，是等腰三角形，且顶角 ，， 、、共线， ，，，，平面 平面. 平面 平面平面，交线为，平面 平面. 设，则 在中，由余弦定理，得： 又， ， ，， ，为中点， ， 建立直角坐标系（如图），则 ，，，. ，， 设平面的法向量为，则， ， 取，则， ， 平面的法向量为， ， 二面角为锐角， 二面角的余弦值大小为. 【答案点睛】 本题考查面面平行证明线面平行，