第04讲 数列的通项公式（十六大题型）（课件）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）.pptx

,第04讲 数列的通项公式,高考一轮复习讲练测,2024,01,02,03,04,目录,CONTENTS,考情分析,网络构建,知识梳理题型归纳,真题感悟,PART ONE,考情分析,02,PART ONE,网络构建,PART ONE,知识梳理题型归纳,【例1】（2023湖南长沙长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，则第十层有（）个球A12B20C55D110,【答案】C【解析】由题意知：1=1，2=1+2=1+2，3=2+3=1+2+3，=1+=1+2+3+，所以 10=1+2+3+10=55故选：C,题型一：观察法,【对点训练1】（2023全国高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则 6=（）A17B37C107D128,【答案】C【解析】能被3除余2且被7除余2，2既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，且 0，2=21 1，即=2119，6=21619=107故选：C,题型一：观察法,【对点训练2】（2023全国高三专题练习）若数列 的前4项分别是 1 2，1 3，1 4，1 5，则该数列的一个通项公式为（）A=（1）1 B=（1）+1 C=（1）D=（1）+1+1,【答案】D【解析】因为数列 的前4项分别是 1 2，1 3，1 4，1 5，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1，所以对照四个选项，=（1）+1+1 正确故选：D【解题方法总结】观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项使用观察法时要注意：观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有（1）或者（1）1 部分考虑各项的变化规律与序号的关系应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方 2、2 与（1）有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列,题型一：观察法,【例2】（2023全国高三对口高考）数列1，3，7，15，的一个通项公式是（）A=2 B=2+1C=2 1D=2 1,【答案】C【解析】依题意得 2 1=2，3 2=2 2，4 3=2 3，所以依此类推得 1=2 1 2，所以=1+2 1+3 2+4 3+1=1+2+2 2+2 3+2 1=1 2 12=2 1又 1=2 1 1=1也符合上式，所以符合题意的一个通项公式是=2 1故选：C,题型二：叠加法,【对点训练3】（2023新疆喀什校考模拟预测）若=1+1，1=1则 10=（）A55B56C45D46,【答案】D【解析】由=1+1，得 2=1+1，3=2+2，4=3+3，=1+1 2，累加得，=1+1+2+3+1=1 2 2 1 2+1，当=1时，上式成立，则=1 2 2 1 2+1，所以 10=1 2 100 1 2 10+1=46故选：D【解题方法总结】数列有形如+1=+（）的递推公式，且（1）+（2）+（）的和可求，则变形为+1=（），利用叠加法求和,题型二：叠加法,【例3】（2023河南模拟预测）已知数列 满足+1+1=2，1=1，则 2023=（）A2023B2024C4045D4047,【答案】C【解析】+1+1=2，+1+=2+1，即(12)+1=(21)，可得+1=2+1 21，2023=2023 2022 2022 2021 2021 2020 3 2 2 1 1=4045 4043 4043 4041 4041 4039 5 3 3 1 1=4045故选：C,题型三：叠乘法,【对点训练4】（2023全国高三专题练习）数列 中，1=1，+1=+1（为正整数），则 2022 的值为（）A 1 2022 B 1 2021 C 2021 2022 D 2022 2021,【答案】A【解析】因为+1=+1，所以=1 1 2 4 3 3 2 2 1=1 2 1 3 4 2 3 1 2=1，所以 2022=1 2022，故选：A【解题方法总结】数列有形如=（）1 的递推公式，且（1）（2）（）的积可求，则将递推公式变形为 1=（），利用叠乘法求出通项公式,题型三：叠乘法,【例4】（2023全国高三专题练习）已知：1=1，2时，=1 2 1+21，求 的通项公式,【解析】设+=1 2 1+1+，所以=1 2 1 1 2 1 2 1 2，1 2=2，1 2 1 2=1，解得：=4=6，又 1 4+6=3，4+6 是以3为首项，1 2 为公比的等比数列，4+6=3 1 2 1，=3 2 1+46,题型四：待定系数法,【对点训练5】（2023全国高三专题练习）已知数列，1=2，且对于1时恒有=1 2 1+1，求数列 的通项公式,【解析】因为=1 2 1+1，所以 2=1 2（1 2），又因为 1 2=0，所以数列 2是常数列0，所以 2=0，所以=2,题型四：待定系数法,【对点训练6】（2023全国高三专题练习）已知数列 满足：+1=1 3 2，1=4，求,【解析】因为+1=1 3 2，1=4，所以两边同时加上 3 2 得：+1+3 2=1 3 2+3 2=1 3 1 2，所以+1+3 2=1 3 1 2=1 3+3 2，当 1=4时，1+3 2=11 2 故+3 2 0，故+1+3 2+3 2=1 3，所以数列+3 2 是以 1+3 2=11 2 为首项，1 3 为公比的等比数列于是+3 2=11 2（1 3）1 故=3 2+11 2 1 3 1，【解题方法总结】形如+1=+（，为常数，0且1）的递推式，可构造+1+=（+），转化为等比数列求解也可以与类比式=1+作差，由+1=（1），构造+1 为等比数列，然后利用叠加法求通项,题型四：待定系数法,【例5】（2023全国高三专题练习）已知数列 满足+1=2+3 2，1=2，求数列 的通项公式,【解析】将+1=2+3 2 两边除以 2+1，得+1 2+1=2+3 2，则+1 2+1 2=3 2，故数列 2 是以 1 2 1=2 2=1为首项，以 3 2 为公差的等差数列，则 2=1+3 2（1）=3 2 1 2，数列 的通项公式为=（3 2 1 2）2=（31）2 1,题型五：同除以指数,【对点训练7】（2023全国高三专题练习）在数列 中，1=1，+1=2+4 3 1，求通项公式,【解析】+1=2+4 3 1 可化为：+1 4 3=2 4 3 1 又 1 4 3 11=14=5则数列 4 3 1 是首项为5，公比是2的等比数列 4 3 1=5 2 1，则=4 3 1 5 2 1 所以数列 通项公式为=4 3 1 5 2 1【解题方法总结】形如+1=+（0且1，1）的递推式，当=时，两边同除以+1 转化为关于 的等差数列；当时，两边人可以同除以+1 得+1+1=+1，转化为+1=+1,题型五：同除以指数,【例6】（2023全国高三专题练习）已知数列 满足：1=2，=1 2 1+1 2，求通项,【解析】取倒数：1=1 1+2 1 1 1=2，故 1 是等差数列，首项为 1 1=1 2，公差为2，1=1 2+2（1）=2 3 2，=2 43,题型六：取倒数法,【对点训练8】（2023全国高三专题练习）在数列 中，1=1，+1=+3，求,【解析】由已知关系式得 1+1+1 2=3 1+1 2，所以数列 1+1 2 是以 3 2 为首项，公比为3得等比数列，故 1+1 2=3 2 3 1，所以=2 3 1【解题方法总结】对于+1=+（0），取倒数得 1+1=+=1+当=时，数列 1 是等差数列；当时，令=1，则+1=+，可用待定系数法求解,题型六：取倒数法,【例7】（2023全国高三专题练习）设正项数列 满足 1=1，=2 1 2 2，求数列 的通项公式,【解析】对任意的，0，因为=2 1 2 2，则 2=2 2 1 2=2 2 1+1，所以，2+1=2 2 1+1，且 2 1+1=1，所以，数列 2+1 是首项为1，公比为2的等比数列，所以，2+1=1 2 1=2 1，解得=2 2 1 1,题型七：取对数法,【对点训练9】（2023全国高三专题练习）设数列 满足 1=0，+1=2，证明：存在常数，使得对于任意的，都有,【解析】0恒成立，+1=2，则+1=2+1 2，则+1 22=1 2 22，1 22=22，当=4时，22=0，故 22=0，即=4，取=4，满足；当0且4时，22 是首项为22，公比为 1 2 的等比数列，故 22=22 1 2 1，即=22 1 2 1+22，故=22 1 2 1+22 22+22，故 22+22，取=22+22，得到 恒成立综上所述：存在常数，使得对于任意的，都有【解题方法总结】形如+1=（0，0）的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解,题型七：取对数法,【例8】（2023全国高三专题练习）数列 的前项和为，满足+1 2=1，且 1=3，则 的通项公式是,【答案】=3，=1 2 1+1，2【解析】+1 2=1，+1+1=2，且 1 1=20，+1+1=2，是以2为首项，2为公比的等比数列=2 2 1=2，=+2 2时，=1=+2(1+2 1)=2 1+1，且 1=3不满足上式，所以=3，=1 2 1+1，2 故答案为：=3，=1 2 1+1，2,题型八：已知通项公式 与前项的和 关系求通项问题,【对点训练10】（2023全国高三专题练习）已知数列 的前项和 满足=2+2（1）写出数列的前3项 1，2，3；（2）求数列 的通项公式,【解析】（1）由 1=1=2 1+2，得 1=2由 1+2=2=2 2+4，得 2=6，1+2+3=3=2 3+6，得 3=14（2）当2时，有=1=2 1+2，即=2 1 2 令+=2 1+，则=2 1+，与比较得，=2，2 是以 1 2=4为首项，以2为公比的等比数列 2=4 2 1=2+1，故=2+1+2,题型八：已知通项公式 与前项的和 关系求通项问题,【对点训练11】（2023河北保定高三校联考阶段练习）已知数列 满足 1+3 2+21=（1）求 的通项公式；（2）已知=1 19，=21+2，=2，求数列 的前20项和,【解析】（1）当=1时，可得 1=1，当2时，1+3 2+21=，1+3 2+23 1=1 2，上述两式作差可得=1 21 2，因为 1=1满足=1 21，所以 的通项公式为=1 21（2）=1 19，=21+2，=2，所以 1+3+19=1+5+9+37 19=1+37 10 219=10，2+4+20=1 37+1 711+1 3943=1 4 1 3 1 7+1 7 1 11+1 39 1 43=10 129 所以数列 的前20项和为 1300 129,题型八：已知通项公式 与前项的和 关系求通项问题,【对点训练12】（2023全国高三专题练习）已知 是各项都为正数的数列，为其前n项和，且 1=1，=1 2+1，求数列 的通项；,【解析】因为=1 2+1，所以当2时，1=1 2 1，所以 2=1 4 2+2+1 2，1 2=1 4 2 2+1 2，两式相减可得 2 1 2=1，又 1=1=1，所以 2 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 2=，即=，故当2时，=1=1，经检验，当=1时，1=1满足上式，所以=1【解题方法总结】对于给出关于 与 的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择一个方向是转化 为 的形式，手段是使用类比作差法，使 1=（2，），故得到数列 的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将 转化为 1（2，），先考虑 与 1 的关系式，继而得到数列 的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解 的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况,题型八：已知通项公式 与前项的和 关系求通项问题,【例9】（2023陕西咸阳武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列 满足 1=3，+1=1 1，记数列 的前项和为，则（）A 2=3 2 B 3+1 3=1 2 C+1+2=1D 19=20,【答案】C【解析】1=3，+1=1 1，2=1 1 1=1 1 3=2 3，故A错误；3=1 1 2=1 1 2 3=1 2，4=1 1 3=1 1 1 2=3=1，数列 是以3为周期的周期数列，3+1 3=3+1=1=3，故B错误；+1=1 1=1，+2=1 1+1=1 1=1 1=1 1，+1+2=1 1 1=1，故C正确；19=1+2+3+18+19=6 1+2+3+19=6 3+2 3 1 2+3=22，故D错误故选：C,题型九：周期数列,【对点训练13】（2023广西防城港高三统考阶段练习）已知数列 满足+1=1 1，若 1=1 2，则 2021=（）A2B1C 1 2 D2,【答案】D【解析】1=1 2，则 2=1 1 1=1 1 1 2=2，3=1 1 2=1 12=1，4=1 1 3=1 1+1=1 2，故 为周期为3的数列，因为2021=6733+2，所以 2021=2=2故选：D【解题方法总结】（1）周期数列型一：分式型（2）周期数列型二：三阶递推型（3）周期数列型三：乘积型（4）周期数列型四：反解型,题型九：周期数列,【例10】已知数列 的前项和为，且满足 0，=+2 4，数列 的前项积=2 2（1）求数列 和 的通项公式；（2）求数列 的前n项和,【解析】（1）当=1时，1=1+2 1 4，1=2，当2时，=1=+2 4 1+2 1 4，化简得 2 1 2=2+1，0，1=2，数列 是首项为2，公差为2的等差数列，=2+1 2=2当=1时，1=1=2，当2时，=1=2 2 2（1）2=2 21，当=1时也满足，所以=2 21（2）=2 2 21=4，设=1 1+2 2+=1 4 1+2 4 2+4，则4=1 4 2+2 4 3+4+1，-得3=4 1+4 2+4 4+1=4 1 4 14 4+1=13 3 4+1 4 3，=31 4+1+4 9,题型十：前n项积型,【对点训练14】（2023全国高三专题练习）设 为数列 的前n项积已知+1+1=2求 的通项公式；,【解析】依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则=1+(1)2=21，即(21)=，当2时，有(23)1=1，两式相除得，（21）23=1，显然 0，即 0，因此当2时，21 23=1 1，即 1=23 21，所以数列 的通项公式=21 2+1,题型十：前n项积型,【例11】（2023南明区校级月考）若数列 满足+1=2+2+，则 2=,【解析】解：+1=2+2+=+2，则 2=（1+2）+（3+4）+（21+2）=3 1+5 3+7 5+2+1 21=2+1 1故答案为：2+1 1,题型十一：“和”型求通项,【对点训练15】（2023全国高三专题练习）数列 满足：1=0，+1+=2，求通项,【解析】因为 1=0，+1+=2，所以当=1时，2=2 1=2，当2时，+1=2 1，两式相减得：+1 1=2，1、3、5 构成以 1 为首项，2为公差的等差数列；2、4、6 构成以 2 为首项，2为公差的等差数列，21=1+（1）2=22，2=2+（1）2=2，=1，为奇数，为偶数,题型十一：“和”型求通项,【对点训练16】（2023全国高三专题练习）数列 满足：1=0，+1+=2，求通项,【解析】由已知当=1时，可得 2=2，当2时，+1=2，与已知式联立，两式相减，得+1 1=0，+1=1，1=3=5=21，2=4=6=2，即奇数项构成的数列 21 是每项都等于 1=0的常数列，偶数项构成的数列 2 是每项都等于 2=2的常数列，=1+1【解题方法总结】满足+1+=（），称为“和”数列，常见如下几种：（1）“和”常数型（2）“和”等差型（3）“和”二次型（4）“和”换元型,题型十一：“和”型求通项,【例12】数列 满足+2+（1）+1=31，前16项和为540，则 2=,【答案】2【解析】解：因为数列 满足+2+（1）+1=31，当为奇数时，+2+=31，所以 3+1=2，7+5=14，11+9=26，15+13=38，则 1+3+5+7+9+11+13+15=80，当为偶数时，+2=31，所以 4 2=5，6 4=11，8 6=17，10 8=23，12 10=29，14 12=35，16 14=41，故 4=5+2，6=16+2，8=33+2，10=56+2，12=85+2，14=120+2，16=161+2，因为前16项和为540，所以 2+4+6+8+10+12+14+16=54080=460，所以8 2+476=460，解得 2=2故答案为：2,题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型,【对点训练17】（2023全国高三专题练习）已知数列 满足：1=3，+1=1 2，求此数列的通项公式,【解析】在数列 中，由 1=3，+1=1 2，得 2=1 6，当2时，1=1 2 1，两式相除得：+1 1=1 2，因此数列 21 构成以 1=3为首项，1 2 为公比的等比数列；数列 2 构成以 2=1 6 为首项，1 2 为公比的等比数列，于是 21=3 1 2 1，2=1 6 1 2 1，所以数列 的通项公式是=3 1 2 1 2，=21，1 6 1 2 2 1，=2，,题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型,【对点训练18】（2023山东校联考模拟预测）已知数列 满足 1=2，+1=+2，为奇数 2+2，为偶数 求 2 的通项公式；,【解析】（1）由题意知当2时，2=21+1=21+2=22+1+2=2 22+4设 2+=2 22+，则 2=2 22+，所以=4，即 2+4=2 22+4 又 2=1+2=0，2+4=4所以 2+4 是首项为4，公比为2的等比数列所以 2+4=4 2 1=2+1 即 2=2+1 4【解题方法总结】（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律（2）分段数列（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列,题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型,【例13】（2023安徽月考）已知正项数列 满足：1=，+1 2 4 2+1 2=0，（）判断数列 是否是等比数列，并说明理由；（）若=2，设=，求数列 的前项和,