北京市2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：立体几何.doc

北京市2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练 立体几何 一、选择、填空题 1、（海淀区2018届高三上学期期末考试）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： ① 三棱锥的体积为 ② 三棱锥的四个面全是直角三角形 ③ 三棱锥四个面的面积中最大的值是 所有正确的说法是 （A）① （B）①② （C）②③ （D）①③ 2、（北京五中2019高三上学期期中考试）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是 　A、4　　　　B、　　　　C、2　　　　D、 3、（朝阳区2019届高三上学期期末）以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为 A. B. C. D. 4、（朝阳区2019届高三上学期期末）如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ． 5、（东城区2019届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的 长度为 (A) 2 (B) (C) (D) 3 6、（丰台区2019届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为 （A）2 （B） （C） （D） 7、（海淀区2019届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， . 8、（西城区2019届高三上学期期末）一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为 （A）（B）（C） （D） 9、（昌平区2019届高三5月综合练习（二模））某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A）　　　（B）　　（C）　　（D） 10、（朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模））在棱长为1的正方体中，分别为线段和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和 A. 有最小值 B.有最大值 C. 为定值 D. 为定值 11、（东城区2019届高三5月综合练习（二模））鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：），则此构件的体积为 （A） （B） （C） （D） 12、（房山区2019届高三第二次模拟）已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为 (A) (B) (C) (D) 13、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A）（B）（C）（D） 14、（海淀区2019届高三5月期末考试（二模））如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合）．则下面结论中错误的是 (A)存在点，使得平面∥平面 (B)存在点，使得平面 (C) 分别是△在平面，平面上 的正投影图形的面积，对任意点， (D)对任意点，△的面积都不等于 15、（朝阳区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为 A．　　B．　　C．　　D． 16、（东城区2019届高三一模）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为 （A）等腰三角形 （B）直角三角形　（C）平行四边形 （D）梯形 17、（丰台区2019届高三一模）已知和是两个不同平面，，是与不同的两条直线，且，，，那么下列命题正确的是 （A）与都不相交 （B）与都相交 （C）恰与中的一条相交 （D）至少与中的一条相交 18、（石景山区2019届高三一模）某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为 A. 2　　B. 6　　C. 10　　D. 24 19、（西城区2019届高三一模）某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____． 二、解答题 1、（海淀区2018届高三上学期期末考试）如图1，梯形中，，，，，为中点.将沿翻折到的位置， 使如图2. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）设、分别为和的中点，试比较三棱锥和三棱锥（图中未画出）的体积大小，并说明理由. 图1 图2 2、（朝阳区2019届高三上学期期末）如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当侧面是正方形，且时， （ⅰ）求二面角的大小； （ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 3、（东城区2019届高三上学期期末）如图1，在四边形中，，,,分别为的中点，，.将四边形沿折起，使平面平面(如图2)，是的中点. (Ⅰ)证明：； (Ⅱ)在线段上是否存在一点，使得面？若存在，求的值；若不存在，说明理由； (Ⅲ)求二面角的大小. 4、（丰台区2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱的中点，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角的余弦值． 5、（海淀区2019届高三上学期期末）在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，， 且 （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值； （Ⅲ）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行. 6、（石景山区2019届高三上学期期末）如图，在中，．可以通过以直线为轴旋转得到，且，动点在斜边上． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）当为的中点时，求二面角的余弦值； （Ⅲ）求与平面所成的角中最大角的正弦值． 7、（通州区2019届高三上学期期末）如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在线段上是否存在一点M，使平面？说明理由. 8、（昌平区2019届高三5月综合练习（二模））如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面， ， ，，为中点． （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在棱上是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 9、（朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模））在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面. ，分别是边，的中点，线段与交于点，且，. (Ⅰ) 求证：平面； (Ⅱ) 求证：平面； (Ⅲ) 求二面角的余弦值. 10、（东城区2019届高三5月综合练习（二模））如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，∥，，，，，，平面与平面交于． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，求二面角余弦值； （Ⅲ）在线段上是否存在点使得？若存在，求的长； 若不存在，说明理由． 11、（房山区2019届高三第二次模拟）已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，点在线段上. （Ⅰ）若为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）证明：存在点，使得平面，并求的值. 12、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 图1 图2 13、（海淀区2019届高三5月期末考试（二模））如图1所示，在等腰梯形，∥，，垂足为，，.将沿折起到的位置， 使平面平面，如图2所示，点为棱上一个动点。 (Ⅱ)当点为棱中点时，求证：∥平面 (Ⅱ)求证：平面; (Ⅲ)是否存在点，使得二面角的余弦值为？ 若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 14、（朝阳区2019届高三一模）如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线平面? 若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 15、（东城区2019届高三一模）如图，在棱长均为的三棱柱中，点在平面内的射影为与的交点，分别为的中点． （Ⅰ）求证：四边形为正方形； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段上存在一点，使得直线与平面没有公共点，求的值. 16、（丰台区2019届高三一模）如图，四棱柱中，底面为直角梯形，，，平面平面，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 17、（海淀区2019届高三一模）如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点． (Ⅱ)求证：∥平面 (Ⅱ)求证：平面平面; (Ⅲ)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为300?如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由． 18、（西城区2019届高三一模）如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直， ，，，，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求 出的值，若不存在，说明理由． 参考答案： 一、选择、填空题 1、D　　 2、B　　3、C　　　4、　　5、D　　6、D　　　7、　　8、C 9、C　　10、D　　11、C　　12、A　　13、B　　　14、C 15、D　　16、A　　17、A　　　18、B　　　19、 二、解答题 1、（Ⅰ）证明：由图1，梯形中，，，，， 为中点， 故图2，， ……………..1分 因为，，平面 ……………..2分 所以平面 ……………..3分 因为平面，所以平面平面 ……………..4分 （Ⅱ） 解一：取中点，连接，. 因为在中，，为中点 所以 因为平面平面 平面平面 平面 所以平面 因为在正方形中，、分别为、的中点， 所以 建系如图. 则，，，，.……………..5分 ，， 设平面的法向量为，则 ，即，令得，， 所以是平面的一个方向量. ……………..7分 ……………..9分 所以与平面所成角的正弦值为. ……………..10分 （Ⅱ） 解二：在平面内作， 由平面，建系如图. 则，，，，. ……………..5分 ，， 设平面的法向量为，则 ，即，令得，， 所以是平面的一个方向量. ……………..7分 ……………..9分 所以与平面所成角的正弦值为. ……………..10分 （Ⅲ）解：三棱锥和三棱锥的体积相等. 理由如下: 方法一：由，，知，则 ……………..11分 因为平面， ……………..12分 所以平面. ……………..13分 故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等. ……………..14分 方法二：如图，取中点，连接，，. 因为在中，，分别是，的中点，所以 因为在正方形中，，分别是，的中点，所以 因为，，平面，，平面 所以平面平面 ……………..11分 因为平面， ……………..12分 所以平面 ……………..13分 故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等. ……………..14分 法二 法三 方法三：如图，取中点，连接，，. 因为在中，，分别是，的中点，所以且 因为在正方形中，是的中点，所以且 所以且，故四边形是平行四边形，故………..11分 因为平面，平面， ……………..12分 所以平面. ……………..13分 故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等. ……………..14分 2、证明：（Ⅰ）取中点，连，连. 在△中，因为分别是中点， 所以，且. 在平行四边形中，因为是的中点， 所以，且. 所以，且. 所以四边形是平行四边形. 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. …………………4分 （Ⅱ）因为侧面是正方形，所以. 又因为平面平面，且平面平面， 所以平面.所以. 又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则， . （ⅰ）设平面的一个法向量为. 由得即令，所以. 又因为平面，所以是平面的一个法向量. 所以. 由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为. ……………10分 （ⅱ）假设在线段上存在点，使得. 设，则. 因为 ， 又， 所以. 所以. 故点在点处时，有 .…………14分 3、解：(Ⅰ)在图1中， 可得△为等腰直角三角形，. 因为所以 因为平面平面， 所以. 又，故； 由为中点，可知四边形为正方形，； 又， ， .............................4分 （II）由(Ⅰ)知：，，两两垂直，， 设，则 ..........................9分 （III） 由(I)可得, 设平面的法向量为， 由 所以二面角 .............................14分 4、解：（Ⅰ）因为底面，底面， 所以， 正方形中， 又因为， 所以平面， 因为平面， 所以． …………….4分 （Ⅱ）正方形中，侧棱底面. 如图建立空间直角坐标系，不妨设. 依题意，则， 所以. 设平面的法向量， 因为， 所以. 令，得，即， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； ………………11分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，所以为平面的法向量， 因为， 且二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． …………………14分 5、解：（Ⅰ）在平面中过点作，交于 因为平面平面 平面 平面平面 所以平面 因为平面 所以 又，且 所以平面 （Ⅱ）因为平面，所以 又， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系 所以， 因为平面，所以取平面的法向量为 设平面的法向量为 因为，所以 所以 令 ，则 ，所以 所以 由题知为锐角，所以的余弦值为 （Ⅲ） 法一： 假设棱上存在点，使得，显然与点不同 所以四点共面于 所以， 所以， 所以就是点确定的平面，所以 这与为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二： 假设棱上存在点，使得 连接，取其中点 在中，因为分别为的中点，所以 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以与重合 所以点在线段上，所以是，的交点，即就是 而与相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法三：假设棱上存在点，使得， 设，所以 因为，所以 所以有，这个方程组无解 所以假设错误，即问题得证 6、（Ⅰ）证明：在中，， ∵，且， ∴ 平面， 又平面， ∴平面平面． （Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系， ∵为的中点， ∴，，，，， ∴，，， 设为平面的法向量， ∴即 令，则， ∴是平面的一个法向量， 设为平面的法向量， ∴即 令，则，， ∴是平面的一个法向量， ∴， ∴二面角的余弦值为． （Ⅲ）解法一:∵平面， ∴为与平面所成的角， ∵， ∴点到直线的距离最小时，的正弦值最大， 即当时，的正弦值最大， 此时，∴， ∴． 解法二：设，所以． ． 平面的法向量， 所以 所以当时，与平面所成的角最大，． 7、（Ⅰ）证明：在三棱柱中， 因为底面，CD⊂平面ABC， 所以． 　　　　　　　　　………………………………………………1分 又为等边三角形，为的中点， 所以． 　………………………………………………2分 因为， 所以平面； 　　　　 ……………………………………………………3分 （Ⅱ）解：取中点，连结，则 因为，分别为， 的中点， 所以． 由（Ⅰ）知，， 如图建立空间直角坐标系． …………4分 由题意得，，， ,,,,， ，． 　　　………………………………………5分 设平面法向量， 则　即 令，则，．即． …………………6分 平面BAE法向量． 　 ……………………………………………………7分 因为，，， 所以．　　 ………………………………………………8分 由题意知二面角为锐角，所以它的余弦值为. 　 ………………9分 （Ⅲ）解：在线段上不存在点M，使平面．理由如下． 假设线段上存在点M，使平面．则 ，使得． 因为，所以． ……………………………………10分 又，所以． …………………………11分 由（Ⅱ）可知，平面法向量， 平面，当且仅当， 即，使得． ……………………………………12分 所以 解得． ……………………………………13分 这与矛盾． 所以在线段上不存在点M，使平面． ………………………………14分 8、解：（I）设交于点，连结. 因为底面是矩形, 所以为中点 . 又因为为中点 , 所以∥. 因为, 所以∥. ….4分 （II）取的中点，连结，. 因为底面为矩形, 所以. 因为，, 所以∥. 所以. 又因为, , 所以. 如图，建立空间直角坐标系,则 　　　　设平面的法向量为 　　　　 　　　　所以 　　　　令，则，所以. 　　　　平面的法向量为， 　　　　. 　　　　如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.….10分 　（Ⅲ）在棱上存在点, 使. 设,则.　　　 因为,所以.　　. 　　　 因为,所以.　 　　　 所以，解得. 　　　 所以在棱上存在点,使，且. ….14分 9、(I)因为为中点，为中点.所以. 又因为平面，平面, 所以平面. ………….4分 (Ⅱ) 取的中点，连接. 显然，，两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系, 则，，，，, ,. 所以，，. 又因为， , 所以. 又因为，所以平面. ………….9分 （Ⅲ）显然平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 又，， 由得 设，则，，则. 所以. 设二面角的平面角为，由图可知此二面角为锐二面角， 所以. ………….14分 10、解：（Ⅰ）在四边形中，∥． 因为平面，平面， 所以∥平面． 因为平面，且平面平面， 所以∥． ............................4分 （Ⅱ）如图，取的中点，连接，.在等腰△中， 因为平面平面，交线为， 又，所以平面. 所以 由题意易得 如图建立空间直角坐标系， 则，，， ，． 因为，所以. 设平面的法向量为 则 即 令，则． 于是． 又平面的法向量为， 所以． 由题知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. ............................9分 （Ⅲ）不存在满足条件的点，使，理由如下： 若，则． 因为点为线段上的动点，设，． 则， 解得． 所以，． 所以． 整理得，此方程无实根． 所以线段上不存在点，使. .........................14分 11、（Ⅰ）设，连结， 因为 正方形，所以为中点 又 矩形,为的中点 所以 且 ……………………………..2分 所以为平行四边形 所以 ……………………………..4分 又 平面，平面 所以 平面 ……………………………5分 （Ⅱ）以为原点，分别以 为轴建立坐标系- 则 设平面的法向量为， 由 得 则 ……………7分 易知 平面的法向量 ……………8分 由图可知 二面角为锐角 所以 二面角的余弦值为 ……………10分 （Ⅲ）设，则 若平面 则，即 ……………12分 所以解得 所以 所以 ……………14分 12、（Ⅰ）证明：因为在梯形中，，，为的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， ………………1分 因为线段与交于点， 所以为线段的中点， 所以中， ………………3分 因为平面，平面， 所以平面． ………………4分 （Ⅱ）解：因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，，垂足为， 所以，， 因为平面，平面， 所以是二面角的平面角， 因为二面角为直二面角， 所以，即． 可以如图建立空间直角坐标系，其中， ………………6分 因为在图1菱形中，， 所以，． 所以，，． 所以，． ………………7分 设为平面的法向量， 因为， 所以，即 取，得到 所以， 易知平面的法向量为， ………………8分 所以 ………………9分 由图可知，二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为． ………………10分 （Ⅲ）解：线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，………………11分 设， 因为，， 所以． ………………12分 因为， ………………13分 所以， 因为， 所以． ………………14分 所以线段上存在点，且时，使得与平面所成角的正弦值为． 13、解： (Ⅰ) 方法1： 在图1的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为， 因为，所以 又因为 ，， 所以四边形为正方形，，为中点 在图2中，连结 因为点是的中点， 所以 又因为，，平面，平面， 所以平面平面 又因为 ，所以平面 方法2： 在图1的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为 因为，所以 又因为 ，， 所以四边形为正方形 ， 为中点 在图2中，连结 因为点是的中点， 所以 又平面，平面 所以平面 又因为，平面，平面 所以平面 又因为 所以平面平面 又因为 ，所以平面 方法3： 在图1的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为， 因为，所以 又因为 ，， 所以四边形为正方形，，得 所以 在图2中设点为线段的中点，连结， 因为点是的中点， 所以 所以，所以四边形为平行四边形 所以 又因为平面，平面 所以平面 （Ⅱ）因为平面平面， 平面平面, 平面， 所以平面 又因为平面 所以 又，满足 ， 所以 又 所以平面 （Ⅲ）因为三线两两垂直，如图，建立空间直角坐标系, 所以，，，. 假设存在点满足题意， 设，则， 所以 设平面的法向量为， 所以，即 取，则， 由（Ⅱ），为平面的法向量， 令 解得或（舍） 所以存在点，使得二面角的余弦值为 ，且， 得. 14、解：（Ⅰ）证明：因为为正方形， 所以． 又因为平面平面， 且平面平面， 所以平面． 所以．………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面，所以，． 因为，所以两两垂直． 分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为，， 所以， 所以． zDA yDA xDA E D C B A F M 设平面的一个法向量为， 则 即 令，则， 所以． 设直线与平面所成角为， 则．……………….9分 （Ⅲ）设， 设，则， 所以，所以， 所以． 设平面的一个法向量为，则 因为，所以 令，则，所以． 在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得． 因为，由， 所以， 解得， 所以线段上存在点，使得平面，且．……………….14分 15、解：（Ⅰ）连结． 因为在平面内的射影为与的交点， 所以平面． 由已知三棱柱各棱长均相等， 所以，且为菱形. 由勾股定理得，即. 所以四边形为正方形. ..................5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面 在正方形中，． 如图建立空间直角坐标系． 由题意得， ． 所以 设平面的法向量为 则即 令则 于是． 又因为， 设直线与平面所成角为，则 ． 所以直线与平面所成角的正弦值为. ............................10分 （Ⅲ）直线与平面没有公共点，即∥平面． 设点坐标为，与重合时不合题意，所以． 因为，． 设为平面的法向量， 则即 令，则，. 于是. 若∥平面，. 又， 所以，解得． 此时平面， 所以 ，. 所以． ......................14分 16、解：（Ⅰ）因为 平面平面，平面平面，， 平面， 所以 平面. 因为 平面， 所以 . （Ⅱ）取的中点，连结. 平行四边形中，.易证. 由（Ⅰ）知平面. 故以为原点，所在直线为坐标轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 依题意，， 设平面的一个法向量为 则， 则， 即， 令，得． 易知平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，可知为锐角， 则， 即二面角的余弦值为． （Ⅲ）解：设，，． 因为，，， 所以 所以. 因为平面 所以 即，所以． 所以存在点，使得平面，此时． 17、解：(Ⅰ)方法一：连结 因为分别为,中点, 所以 又因为，所以 因为分别为,中点，所以 又因为 平面，平面 平面，平面 所以平面平面 又平面，所以平面 方法二：取中点为,连结 由且 又点为中点，所以