2024届上海市高考数学新高考新教材新增知识系列：微专题绝对值的三角不等式的证明与理解.docx

微专题 绝对值的三角不等式|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的证明与理解 【学生版】 知识梳理 相关知识准备 1、|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？ 【解析】 2、不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？ 【解析】不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|， 不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|， 3、绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是什么？ 【解析】 定理（三角不等式）： 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 推论1：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】 推论2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】 推论3：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】； 【证明】 推论4：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】； 【证明】 推论5：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】； 【证明】 推论6：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 综上，得 绝对值三角不等式： 对任意的实数、；则；此时右边：当且仅当时，等号成立；左边：等号当且仅当时，等号成立； 对任意的实数、；则；此时，右边等号当且仅当时，等号成立，左边等号当且仅当时，等号成立； 典题例析 例1、（1）下四个命题： ①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1； ③若|x|＜2，|y|＞3，则||＜； ④若AB≠0，则lg≥( lg|A|＋lg|B|)． 其中正确的命题有(　　) A．4个　 B．3个 C．2个 D．1个 （2）不等式≥1成立的充要条件是________． 【提示】 【解析】 【说明】本题考查了绝对值三角不等式的结构特点与“数学代换”的交汇； 1、绝对值的三角不等式：|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边． 2、对|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释： 定理的构 成部分 特征 大小 关系 等号成立的条件 左端|a|－|b| 可能是负的 ≤中间部分 中间部分为|a＋b|时，ab≤0，且|a|≥|b|时，左边的等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左边等号成立． 中间部分|a±b| 肯定是非负的 ≥左端 ≤右端 用“＋”连接时，ab≥0，右端取等号，ab≤0，且|a|≥|b|时，左端取等号；用“－”连接时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左端取等号，ab≤0，右端取等号． 右端|a|＋|b| 是非负的 ≥中间部分 中间部分为|a＋b|时，ab≥0，等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≤0，等号成立. 例2、已知写出不等式等号成立的所有条件_________ 【说明】本题主要考查绝对值三角不等式的推导思路，等价推导等号成立的条件，还考查了分析求解问题、等价转化等能力； 例3、（1）已知ε>0，|x－a|<ε，|y－b|<ε，求证：|(x＋y)－(a＋b)|<2ε. （2）设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)． 【说明】本题考查了利用绝对值的三角不等式证明不等式；含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明． 例4、已知a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4；求|a|＋|b|的最大值． 【说明】本题考查了利用绝对值的三角不等式求最值； 1、求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已． 2、求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有： ①借助绝对值的定义，即零点分段；②利用绝对值几何意义；③利用绝对值不等式性质定理． 3、利用含有绝对值的不等式的性质处理最值问题 （1），即| （2），即 方法归纳 1、定理（三角不等式）：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 2、绝对值三角不等式 如果a，b是实数,则||a|-|b||≤|a+b|≤|a|＋|b| 注意：右边“＝”成立的条件是ab≥0， 左边“＝”成立的条件是ab≤0． 如果a，b是实数,则||a|－|b||£|a－b|£|a|+|b| 注意：右边“＝”成立的条件是ab≤0；左边“＝”成立的条件是ab≥0． 3、如果a，b，c是实数,则|a－c|£|a－b|+|b－c|当且仅当(a-b)(b-c)³0时,等号成立； 4、由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 ①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|. ②||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. ③||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 巩固练习 1、已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是（ ） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n 2、对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为(　　) A．5 B．4 C．8 D．7 3、若a，b∈R，则以下命题正确的是(　　) A．|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| B．|a|－|b|<|a－b|<|a|＋|b| C．当且仅当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b| D．当且仅当ab≤0时，|a－b|＝|a|－|b| 4、以下四个命题： ①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1； ③若|x|＜2，|y|＞3，则＜； ④若AB≠0，则lg≥(lg|A|＋|lg|B|)． 其中正确的命题有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5、不等式成立的充要条件是 6、若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________． 7、|x＋1|＋|2－x|的最小值是________． 8、若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________． 9、两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次. 要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？ 10、已知函数f(x)＝－，m∈R. （1）若m＝3，求不等式f(x)>1的解集； （2）若对任意的x∈R，不等式f(x)＋2≥4都成立，求实数m的取值范围． 微专题 绝对值的三角不等式|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的证明与理解 【教师版】 知识梳理 相关知识准备 1、|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？ 【解析】|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. 2、不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？ 【解析】不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|， 右侧“＝”成立的条件是ab≥0， 左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|； 不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|， 右侧“＝”成立的条件是ab≤0， 左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|. 3、绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是什么？ 【解析】在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|AC|＝|AB|＋|BC|；当点B不在点A，C之间时，|AC|<|AB|＋|BC|； 此结论还可以结合向量的几何表示与运算、复数的几何表示与运算为背景进行解读； 定理（三角不等式）： 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【提示】注意：利用等价变形进行证明与探究“等号”成立条件与变式； 【证明】（方法1：分析法）为证明， 只需证明， 即，也就是， 所以，等号当且仅当时成立； （方法2：利用） 由① ② 两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用， 即可证明； 推论1：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】将三角不等式中，取成“”， 取成“”，代入定理，移项即可； 等号当且仅当，即时成立。 推论2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】将三角不等式中，取成“”， 取成“”，代入定理，移项即可； 等号当且仅当，即时成立。 推论3：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】； 【证明】将三角不等式中，取成“”， 取成“”， 有，则不等式成立； 等号当且仅当，即时成立。 推论4：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】； 【证明】将三角不等式中，取成“”， 取成“”， 有，则不等式成立； 等号当且仅当，即时成立。 推论5：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】，； 【证明】由且，两式相加，化简，则不等式成立； 等号当且仅当且，即时成立。 推论6：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】注意：“代换法”，用好代换； 【证明】由以上三角不等式及其变式1，即可得原不等式成立； 右边：当且仅当时，等号成立； 左边：若，则平方整理得， 等号当且仅当且时，等号成立； 综上，得 绝对值三角不等式： 对任意的实数、；则；此时右边：当且仅当时，等号成立；左边：等号当且仅当时，等号成立； 对任意的实数、；则；此时，右边等号当且仅当时，等号成立，左边等号当且仅当时，等号成立； 典题例析 例1、（1）下四个命题： ①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1； ③若|x|＜2，|y|＞3，则||＜； ④若AB≠0，则lg≥( lg|A|＋lg|B|)． 其中正确的命题有(　　) A．4个　 B．3个 C．2个 D．1个 （2）不等式≥1成立的充要条件是________． 【提示】本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题．解答问题（1）可利用绝对值的三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题（2）应分|a|＞|b|与|a|<|b|两类讨论； 【答案】（1）A；（2）|a|＞|b|； 【解析】（1）a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a| ＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确； 1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确； |y|＞3，∴＜.，又∵|x|＜2，∴＜.③正确； 2＝(|A|2＋|B|2＋2|A||B|)≥(2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|， ∴2lg≥lg|A||B|，∴lg≥(lg|A|＋lg|B|)，④正确． （2）当|a|>|b|时，有|a|－|b|>0，∴|a＋b|≥||a|－|b||＝|a|－|b|. ∴必有≥1，即|a|>|b|是≥1成立的充分条件． 当≥1时，由|a＋b|>0，必有|a|－|b|>0. 即|a|>|b|，故|a|>|b|是≥1成立的必要条件． 故所求为：|a|>|b|； 【说明】本题考查了绝对值三角不等式的结构特点与“数学代换”的交汇； 1、绝对值的三角不等式：|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边． 2、对|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释： 定理的构 成部分 特征 大小 关系 等号成立的条件 左端|a|－|b| 可能是负的 ≤中间部分 中间部分为|a＋b|时，ab≤0，且|a|≥|b|时，左边的等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左边等号成立． 中间部分|a±b| 肯定是非负的 ≥左端 ≤右端 用“＋”连接时，ab≥0，右端取等号，ab≤0，且|a|≥|b|时，左端取等号；用“－”连接时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左端取等号，ab≤0，右端取等号． 右端|a|＋|b| 是非负的 ≥中间部分 中间部分为|a＋b|时，ab≥0，等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≤0，等号成立. 例2、已知写出不等式等号成立的所有条件_________ 【提示】注意利用实数性质与绝对值不等式推导思路，根据，将证等号成立条件，转化为证等号成立条件求解； 【答案】或 【解析】因为， 所以要证的等号成立条件 ， 只需证的等号成立条件 ， 即的等号成立条件 ， 当时，， 当时，， 所以当且仅当，即或时，取等号， 故答案为：或 【说明】本题主要考查绝对值三角不等式的推导思路，等价推导等号成立的条件，还考查了分析求解问题、等价转化等能力； 例3、（1）已知ε>0，|x－a|<ε，|y－b|<ε，求证：|(x＋y)－(a＋b)|<2ε. （2）设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)． 【提示】本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难．从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定；所以，结合题设与绝对值不等式关联； 【证明】（1）|(x＋y)－(a＋b)|＝|(x－a)＋(y－b)|≤|x－a|＋|y－b|.① ∵|x－a|<ε，|y－b|<ε，∴|x－a|＋|y－b|<ε＋ε＝2ε.② 由①②得：|(x＋y)－(a＋b)|<2ε. （2）∵f(x)＝x2－x＋13，∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|. 又∵|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)， ∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1). 【说明】本题考查了利用绝对值的三角不等式证明不等式；含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明． 例4、已知a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4；求|a|＋|b|的最大值． 【题设】本题考查绝对值三角不等式的应用．解答本题可先求出|a＋b|，|a－b|的最值，再通过|a|＋|b|与它们相等时进行讨论求出最大值； 【解析】|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤2， |a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3＋2×4＋5＝16. ①若ab≥0，则|a|＋|b|＝|a＋b|≤2； ②若ab＜0，则|a|＋|b|＝|a－b|≤16. 而当即a＝8，b＝－8时， |a|＋|b|取得最大值，且|a|＋|b|＝|a－b|＝16. 【说明】本题考查了利用绝对值的三角不等式求最值； 1、求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已． 2、求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有： ①借助绝对值的定义，即零点分段；②利用绝对值几何意义；③利用绝对值不等式性质定理． 3、利用含有绝对值的不等式的性质处理最值问题 （1），即| （2），即 方法归纳 1、定理（三角不等式）：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 2、绝对值三角不等式 如果a，b是实数,则||a|-|b||≤|a+b|≤|a|＋|b| 注意：右边“＝”成立的条件是ab≥0， 左边“＝”成立的条件是ab≤0． 如果a，b是实数,则||a|－|b||£|a－b|£|a|+|b| 注意：右边“＝”成立的条件是ab≤0；左边“＝”成立的条件是ab≥0． 3、如果a，b，c是实数,则|a－c|£|a－b|+|b－c|当且仅当(a-b)(b-c)³0时,等号成立； 4、由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 ①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|. ②||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. ③||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 巩固练习 1、已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是（ ） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n 【答案】D； 【解析】∵|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，∴m＝≤＝1， n＝≥＝1.∴m≤1≤n. 2、对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为(　　) A．5 B．4 C．8 D．7 【答案】A； 【解析】由题易得，|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5， 即|x－2y＋1|的最大值为5. 3、若a，b∈R，则以下命题正确的是(　　) A．|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| B．|a|－|b|<|a－b|<|a|＋|b| C．当且仅当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b| D．当且仅当ab≤0时，|a－b|＝|a|－|b| 【答案】A ； 【解析】由定理“两个数的和的绝对值小于或等于它们绝对值的和，大于或等于它们绝对值的差”可知选项A正确；在选项A中，以－b代b，可得|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，所以选项B不正确；当且仅当a，b同号或a，b中至少有一个为零，即ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，所以选项C不正确；当ab<0，|a－b|>|a|－|b|，所以选项D不正确． 4、以下四个命题： ①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1； ③若|x|＜2，|y|＞3，则＜； ④若AB≠0，则lg≥(lg|A|＋|lg|B|)． 其中正确的命题有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A ； 【解析】|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a| ＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确； 1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确； |y|＞3，∴＜，又∵|x|＜2，∴＜，③正确； ＝(|A|2＋|B|2＋2|A||B|)≥(2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，∴2lg≥lg|A||B|， ∴lg≥(lg|A|＋lg|B|)，④正确． 5、不等式成立的充要条件是 【提示】注意：等价变形； 【答案】a2+b2≠0； 【解析】因为，要保证分母不等于0，所以a、b不能同时为0，即a2+b2≠0 ， 所以，两边平方得2ab≤2|a||b|，不等式恒成立； 6、若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________． 【答案】(－∞，3] ； 【解析】∵|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3，∴3≥a. 7、|x＋1|＋|2－x|的最小值是________． 【答案】3； 【解析】∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3， 当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号． 因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3； 8、若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】|2x－1|＋|x＋2|＝＋≥0＋＝，当且仅当x＝时取等号，因此函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值是.所以a2＋a＋2≤，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，即实数a的取值范围是； 9、两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次. 要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？ 【提示】画出数轴，分析题意；⑴实际问题→数学问题 【解析】（1）设生活区应该建在离公路路牌km处， 两个施工队每天往返的路程之和为km （2）文字语言→符号语言 问题转化为求上式的最小值 （3）解决数学问题 法一：由定理2，实数与10，20距离的和最小值为10，故最小值为20km 法二：由定理1， 当且仅当即时最小值为20km 法三：由绝对值的定义， 分段求各段最小值，并比较得最小值为20km 10、已知函数f(x)＝－，m∈R. （1）若m＝3，求不等式f(x)>1的解集； （2）若对任意的x∈R，不等式f(x)＋2≥4都成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当m＝3时，f(x)＝－， 则f(x)＝ 当x<－3时，f(x)＝－5，则f(x)>1无解； 当－3≤x≤2时，令f(x)＝2x＋1>1， 解得x>0，则0<x≤2； 当x>2时，f(x)＝5， 则f(x)>1恒成立，则x>2. 综上所述，不等式f(x)>1的解集为(0，＋∞)． （2）因为f(x)＋2≥4对任意的x∈R都成立， 所以＋≥4恒成立， 只需min≥4即可， 由绝对值三角不等式知＋≥＝，当且仅当(x＋m)(x－2)≤0时等号成立， 所以≥4，解得m≥2或m≤－6. 故实数m的取值范围为(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司