2024届上海市高考数学新高考新教材新增知识系列：4 微专题例析反证法与逻辑连接词的交汇 数学方法：反证法.docx

微专题 例析反证法与逻辑连接词的交汇 【学生版】 学习笔记 了解与理解新高考； 明确与体验新教材 知道与掌握新知识； 知识梳理 结合现行【沪教版2020】高中教材的布局，因为不想要求学生记忆太多的逻辑术语，特地将课程标准要求中的全称量词命题的否定、 存在量词命题的否定等内容都融入到反证法的学习中；在整个高中数学学习的续章节的学习中， 反证法是以运用得相当广泛的论证方法； 1、反证法是间接证明的一种基本方法． 2、假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 3、反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这些矛盾可以是 (1)与假设矛盾； (2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； (3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)； 4、用反证法证明命题“若p则q”的过程包括下面三个步骤： (1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真； (2)归谬——由“反设”作为条件出发经过一系列正确的推理，得出矛盾； (3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立． 简单概括反证法的证明过程就是“反设→归谬→存真”． 5、宜用反证法证明的题型 (1)命题的条件与结论之间联系不明显，直接证明较困难． (2)如果直接证明，需要分多种情形讨论，而从反面入手则仅有一种情形或很少几种情形． (3)直接判断显然成立的命题，否定性命题，含“至多”、“至少”等词语的存在性命题． 典题例析 题型一、用反证法证明否定（肯定）命题　 例1、用反证法证明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为（ ） A．整数 B．奇数或偶数 C．自然数或负整数 D．正整数或负整数 【提示】； 【答案】； 【解析】 学习笔记 例2、设{an}是等比数列，公比为q，Sn为它的前n项和． （1）求证：数列{Sn}不是等比数列； （2）数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 【提示】； 【解析】 【说明】通过本题说明结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法，通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，很容易推出矛盾，从而达到证题的目的； 题型二、利用反证法证明唯一性问题　 例3、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是(　　) A．假设至少有一个钝角 B．假设没有一个钝角 C．假设至少有两个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 学习笔记 【说明】本题主要考查反证法的应用，熟记反证法的概念即可，属于基础题型. 例4、已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面． 【说明】用反证法证明唯一性命题的一般思路；证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性； 题型三、用反证法证明“至多”或“至少”类的问题　 例5、设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋（ ） A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2 例6、已知x，y，z均大于零，求证x＋，y＋，z＋这三个数中至少有一个不小于4. 学习笔记 【说明】本题揭示当命题出现“至多”或“至少”“唯一”等形式时，适合用反证法；至于什么情况下可用反证法，应依据问题的具体情况而定，切忌滥用反证法，一般来说，当非命题比原命题更具体、更明确、更简捷，易于推出矛盾时，才便于用反证法．如题目中含有“至多”、“至少”等字眼时，可用反证法； 题型四、用反证法证明存在性问题　 例7、已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点． 例8、若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增． 求证：函数f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 学习笔记 方法归纳 用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确，否定结论要对结论的反面一一否定，不能遗漏，注意用反证法解题时，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立”等相矛盾； 反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程． 当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下： 结论词 反设词 结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 对所有x成立 存在某个x0不成立 至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 存在某个x0成立 至少有n个 至多有n－1个 p或q ¬p且¬q 至多有n个 至少有n＋1个 p且q ¬p或¬q 巩固练习 1、用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是（ ） A．有两个内角是钝角 B．有三个内角是钝角 C．至少有两个内角是钝角 D．没有一个内角是钝角 2、设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值(　 　) A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2 3、实数a，b，c不全为0等价于（ ） A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 4、用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 学习笔记 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 5、“x＝0且y＝0”的否定形式为 6、用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________． 7、已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________． 8、著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 9、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”． 学习笔记 10、求证不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立． 微专题 例析反证法与逻辑连接词的交汇 【教师版】 学习笔记 了解与理解新高考； 明确与体验新教材 知道与掌握新知识； 知识梳理 结合现行【沪教版2020】高中教材的布局，因为不想要求学生记忆太多的逻辑术语，特地将课程标准要求中的全称量词命题的否定、 存在量词命题的否定等内容都融入到反证法的学习中；在整个高中数学学习的续章节的学习中， 反证法是以运用得相当广泛的论证方法； 1、反证法是间接证明的一种基本方法． 2、假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 3、反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这些矛盾可以是 (1)与假设矛盾； (2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； (3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)； 4、用反证法证明命题“若p则q”的过程包括下面三个步骤： (1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真； (2)归谬——由“反设”作为条件出发经过一系列正确的推理，得出矛盾； (3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立． 简单概括反证法的证明过程就是“反设→归谬→存真”． 5、宜用反证法证明的题型 (1)命题的条件与结论之间联系不明显，直接证明较困难． (2)如果直接证明，需要分多种情形讨论，而从反面入手则仅有一种情形或很少几种情形． (3)直接判断显然成立的命题，否定性命题，含“至多”、“至少”等词语的存在性命题． 典题例析 题型一、用反证法证明否定（肯定）命题　 例1、用反证法证明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为（ ） A．整数 B．奇数或偶数 C．自然数或负整数 D．正整数或负整数 【提示】注意阅读理解“方程没有”，明确研究该方程的前提； 【答案】A； 【解析】要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设： 方程存在实数根x0为整数，故选A； 学习笔记 例2、设{an}是等比数列，公比为q，Sn为它的前n项和． （1）求证：数列{Sn}不是等比数列； （2）数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 【提示】（1）可用反证法；（2）对公比q＝1与q≠1讨论作答； 【解】（1）证明：假设{Sn}是等比数列，则S＝S1·S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)． ∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2， ∴q＝0.这与等比数列的公比q≠0矛盾． 故数列{Sn}不是等比数列． （2）当q＝1时，{an}为常数列．∴{Sn}是等差数列． 当q≠1时，假设{Sn}是等差数列，则有2S2＝S1＋S3， 即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)． ∵a1≠0，∴q(q－1)＝0，又q≠1，∴q＝0.这与q≠0矛盾； 故{Sn}不是等差数列． 综上知，当q＝1时，{Sn }是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列； 【说明】通过本题说明结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法，通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，很容易推出矛盾，从而达到证题的目的； 题型二、利用反证法证明唯一性问题　 例3、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是(　　) A．假设至少有一个钝角 B．假设没有一个钝角 C．假设至少有两个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 【提示】注意反证法解题的实质是：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确；根据反设的思想，直接得出结果； 【答案】B； 【详解】用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为“假设至少有两个钝角”；故选：B； 【说明】本题主要考查反证法的应用，熟记反证法的概念即可，属于基础题型. 例4、已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面． 【提示】 “有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑； 【解析】因为a∥b，所以过a，b有一个平面α. 学习笔记 又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α. 又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α， 即过a，b，m有一个平面α，如图． 假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α， 则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾． 因此，过a，b，m有且只有一个平面． 【说明】用反证法证明唯一性命题的一般思路；证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性； 题型三、用反证法证明“至多”或“至少”类的问题　 例5、设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋（ ） A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2 【提示】注意仔细阅读与集合、逻辑用词的关联； 【答案】C； 【解析】假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，则＋＋<6． 又＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6， 这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2． 答案：C 例6、已知x，y，z均大于零，求证x＋，y＋，z＋这三个数中至少有一个不小于4. 【证明】假设x＋，y＋，z＋都小于4， 即x＋<4，y＋<4，z＋<4， 于是得＋＋<12， 而＋＋ 学习笔记 ＝＋＋ ≥2＋2＋2＝12， 这与＋＋<12矛盾， 因此假设错误，即x＋，y＋，z＋中至少有一个不小于4. 【说明】本题揭示当命题出现“至多”或“至少”“唯一”等形式时，适合用反证法；至于什么情况下可用反证法，应依据问题的具体情况而定，切忌滥用反证法，一般来说，当非命题比原命题更具体、更明确、更简捷，易于推出矛盾时，才便于用反证法．如题目中含有“至多”、“至少”等字眼时，可用反证法； 题型四、用反证法证明存在性问题　 例7、已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点． 【提示】本题若直接证明，则要分情况讨论求解，比较繁琐，故可用反证法证明． 【证明】假设三条抛物线y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b都不与x轴有两个不同的交点． 则有 同向不等式求和得 4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0. 即2b2＋2c2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0， ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0. ∴a＝b＝c. 这与题设a，b，c互不相等矛盾． 因此假设不成立，从而原命题得证成立； 例8、若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增． 求证：函数f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 【证明】∵函数f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，∴f(a)·f(b)<0， ∴f(x)在(a，b)内至少存在一个零点． 设零点为x＝m，则f(m)＝0， 假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点x＝n， 即f(n)＝0，且n≠m. 学习笔记 若n>m，由f(x)在[a，b]上单调递增， 可得f(n)>f(m)，即0>0，矛盾． 若n<m，由f(x)在[a，b]上单调递增，可得f(n)<f(m)， 即0<0，矛盾． ∴假设不成立，故函数f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 方法归纳 用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确，否定结论要对结论的反面一一否定，不能遗漏，注意用反证法解题时，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立”等相矛盾； 反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程． 当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下： 结论词 反设词 结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 对所有x成立 存在某个x0不成立 至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 存在某个x0成立 至少有n个 至多有n－1个 p或q ¬p且¬q 至多有n个 至少有n＋1个 p且q ¬p或¬q 巩固练习 1、用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是（ ） A．有两个内角是钝角 B．有三个内角是钝角 C．至少有两个内角是钝角 D．没有一个内角是钝角 【答案】C ； 【解析】“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C. 2、设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值(　 　) A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2 【答案】 学习笔记 【解析】假设a＋，b＋，c＋三个数都小于2，则必有a＋＋b＋＋c＋<6， 而＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6， 故二者相矛盾．所以假设不成立； 3、实数a，b，c不全为0等价于（ ） A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 【答案】D ； 【解析】“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”； 4、用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 【答案】A； 【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A. 5、“x＝0且y＝0”的否定形式为 【答案】x≠0或y≠0 【解析】 “p且q”的否定形式为“非p或非q”． 6、用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________． 【答案】x＝a或x＝b 【解析】“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”． 7、已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________． 【答案】b与c平行或相交 【解析】∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交； ∴应假设b与c平行或相交． 8、著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 【答案】至少存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和 9、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”． 【提示】①反设：假设a、b、c都不是偶数；②推出矛盾：利用a、b、c都是奇数，求出矛盾；③结论：由假设错误，得到原结论正确． 学习笔记 【证明】假设a，b，c都不是偶数， 若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根， 则Δ＝b2－4ac＝n2(n为整数)， ∴b2－n2＝4ac，即(b＋n)(b－n)＝4ac， 若n为偶数，则b＋n，b－n均为奇数， ∴(b＋n)(b－n)为奇数，4ac为偶数， ∴(b＋n)(b－n)≠4ac，故n不能为偶数， 若n为奇数，则b＋n为偶数，b－n也为偶数， ∴(b＋n)(b－n)＝2a×2c， 则∴b＝a＋c． ∵a，b，c均为奇数， ∴a＋c为偶数，∴b≠a＋c． 综上可知，假设错误． 所以a，b，c中至少有一个是偶数． 10、求证不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立． 【提示】本题从正面证很难证明，用反证法证明． 【证明】假设存在实数x，y，使得等式＋＝成立， ∴x(x＋y)＋y(x＋y)＝xy， 即x2＋y2＋xy＝0，∴2＋y2＝0， 又y≠0，∴y2＞0，又2≥0， ∴2＋y2＞0，与x2＋y2＋xy＝0相矛盾，故原命题成立． 第16页 共16页 学科网（北京）股份有限公司