2024届上海市高考数学新高考新教材新增知识系列：三角不等式专项测试.docx

【学生版】 《三角不等式》【专项测试】 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按要求在规定的位置上作答； 2．解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤； 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1、不等式成立的充要条件是 2、实数a、b满足，则a、b之间的关系是 . 3、函数的最小值为________. 4、x为实数，且不等式有解，则实数m的取值范围是 5、 取等号的条件是 6、若不等式的解集为，则实数的取值范围是__________. 7、函数的取得最小值时的值为 8、对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________． 9、已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，则m的取值范围为________． 10、若实数a，b满足ab>0，则四个不等式中正确的序号是 ①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b| ；④|a＋b|>|a－b| 11、假设存在实数满足，那么实数的取值范围为___________. 12、若不等式对任意使式子有意义的实数恒成立,则实数的取值范围是 二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13、非零实数，满足的充要条件是（ ） A． B． C． D． 14、 取等号的条件是（ ） A. B. C. D. 15、若|a|<1，|b|<1，则|a+b|+|a－b|与2的大小关系是（ ） A．|a+b|+|a－b|>2 B．|a+b|+|a－b|<2 C．|a+b|+|a－b|=2 D．不确定 16、对任意x，y∈R，|x－1|+|x|+|y－1|+|y+1|的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17. （本题满分14分） 已知f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围． 18、（本题满分14分） （1）设a，b∈R，求证：＋≥ . （2）已知|x＋1|<，|y－2|<，|z＋3|<，求证：|x＋2y＋z|<ε； 19、（本题满分14分） 已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－4|； （1）解不等式f(x)≤6； （2）若不等式f(x)＋|x－4|<a2－8a有解，求实数a的取值范围． 20. （本题满分16分） 已知函数恒成立． （1）求的取值范围； （2）若的最大值为，当正数、满足时，求的最小值． 21. （本题满分18分） 已知实数、、、，显然，定义两实数的误差为两数差的绝对值； （1）求证：； （2）若任取，，与的误差，与的误差最大值均为，求：与误差的最大值，并求出此时、、、的值. 【教师版】 《三角不等式》【专项测试】 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按要求在规定的位置上作答； 2．解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤； 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1、不等式成立的充要条件是 【提示】注意：等价变形； 【答案】a2+b2≠0； 【解析】因为，要保证分母不等于0，所以a、b不能同时为0，即a2+b2≠0 ， 所以，两边平方得2ab≤2|a||b|，不等式恒成立； 2、实数a、b满足，则a、b之间的关系是 . 【提示】注意：等价变形； 【答案】ab<0； 【解析】因为，所以(a+b)2<(a-b)2，即a2+2ab+b2<a2-2ab+b2,所以4ab<0,故ab<0； 【说明】与不等式性质与简单的等价变形进行交汇； 3、函数的最小值为________. 【提示】利用三角不等式可求该函数的最小值； 【答案】6； 【解析】因为， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 故的最小值为6，故答案为：6； 【说明】本题考查绝对值不等式的应用，注意，当且仅当时等号成立； 4、x为实数，且不等式有解，则实数m的取值范围是 【提示】注意：左边符合三角不等式的条件； 【答案】（2 ，+∞） 【解析】利用三角不等式，有，因为有解，所以m>2即可 【说明】本题三角不等式与不等式性质、数轴的简单交汇； 5、 取等号的条件是 【提示】利用三角不等式（当且仅当时取等号）即可求得答案； 【答案】（2020·全国（理）改编） 【解析】因为，， 当且仅当，即时取等号 【说明】本题考查三角不等式，考查绝对值不等式取等号的条件，属于中档题. 6、若不等式的解集为，则实数的取值范围是__________. 【提示】由题意得知对任意的恒成立，然后利用绝对值三角不等式求出的最大值为，得出，解出该不等式即可； 【答案】 【解析】由题意可知，不等式对任意的恒成立， 由绝对值三角不等式可得， 则，即，解得，因此，实数的取值范围是； 故答案为； 【说明】本题考查利用绝对值不等式的解集为空集求参数的取值范围，转化为绝对值不等式在实数集上恒成立是解题的关键，同时借助绝对值三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题. 7、函数的取得最小值时的值为 【提示】利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应的值. 【答案】； 【解析】依题意，当且仅当， 即时等号成立； 【说明】本小题主要考查绝对值不等式，以及绝对值不等式等号成立的条件； 8、对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________． 【答案】5； 【解析】|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5. 9、已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，则m的取值范围为________． 【提示】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，可转化为不等式|x－2|＋|x＋3|>m恒成立，利用不等式的性质求出|x－2|＋|x＋3|的最小值，就可以求出的范围. 【答案】(－∞，5) 【解析】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方， 即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立， 即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立． 因为对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5， 所以m<5，即m的取值范围是， 故答案为：. 【说明】该题考查的是有关利用两个函数图象的关系，得出函数值的大小关系，之后将恒成立问题向最值靠拢，利用绝对值不等式的性质求得结果； 10、若实数a，b满足ab>0，则四个不等式中正确的序号是 ①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b| ；④|a＋b|>|a－b| 【提示】注意结合数轴与绝对值的几何意义理解； 【答案】①④ 11、假设存在实数满足，那么实数的取值范围为___________. 【提示】结合绝对值三角不等式将，进而求解 【答案】（-3，7） 【解析】，即 故答案为： 【说明】本题考查绝对值三角不等式的应用，应该熟记：，属于基础题 12、若不等式对任意使式子有意义的实数恒成立,则实数的取值范围是 【答案】 【解析】， 当且仅当时等号成立．∴的最大值为4． 下面解不等式， ∵，∴， ∴不等式为不等式， 即， ∴或， 解得或或， ∴的取值范围是． 故答案为：； 【说明】本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式的性质．首先不等式恒成立问题转化为求最值．其次解绝对值不等式时，绝对值性质等价于或中可以不讨论的正负，直接用来解不等式，即不等式直接转化为或，不需要按分类，大家可以从集合的分析． 二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13、非零实数，满足的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【提示】利用绝对值不等式的性质，即可得到答案. 【答案】D 【解析】由绝对值不等式的性质，可得，当且仅当时， 等号成立， 所以“”的充要条件为“”． 故选：D 【说明】本题主要考查了绝对值不等式的性质、充要条件，属于基题．是绝对值不等式中常用的性质． 14、 取等号的条件是（ ） A. B. C. D. 【提示】分析：利用绝对值不等式（当且仅当时取等号）即可求得答案. 【答案】C 【解析】， 当且仅当，即时取等号. 故选：C. 【说明】本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式取等号的条件，属于中档题. 15、若|a|<1，|b|<1，则|a+b|+|a－b|与2的大小关系是（ ） A．|a+b|+|a－b|>2 B．|a+b|+|a－b|<2 C．|a+b|+|a－b|=2 D．不确定 【提示】根据的符号相同或相反，利用绝对值的性质求解. 【答案】B 【解析】当(a+b)(a-b)≥0时，|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2； 当(a+b)(a-b)<0时，|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2， 综上有|a+b|+|a-b|<2. 故选：B 16、对任意x，y∈R，|x－1|+|x|+|y－1|+|y+1|的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】∵|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|) ≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3, 当且仅当(1-x)·x≥0,(1-y)·(1+y)≥0, 即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立, ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3. 三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17. （本题满分14分） 已知f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围． 【解析】∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x| ≥|(x－10)＋(20－x)|＝10. 当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号． 由(x－10)(20－x)≥0， 得10≤x≤20， 因此f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是[10，20] 18、（本题满分14分） （1）设a，b∈R，求证：＋≥ . 【提示】利用绝对值不等式性质或构造函数证明． 【证明】法一：①若ab＝0或a＋b＝0，不等式显然成立． ②若ab≠0且a＋b≠0，∵|a＋b|≤|a|＋|b|， ∴＝ ≥＝(*) 又＞，＞， ∴＋＞. 又由(*)式可知＋＞. 综上①②可知＋＞. 法二：若ab＝0或a＋b＝0，不等式显然成立． 若ab≠0且a＋b≠0，∵|a＋b|≤|a|＋|b|， ∴0＜1＋≤1＋. 即0＜≤. 取倒数得≥， 又由法一知，原不等式成立． 法三：∵|a|＋|b|≥|a＋b|， ∴|a|＋|b|＋(|a|＋|b|)·|a＋b|≥|a＋b|＋(|a|＋|b|)·|a＋b|， 即(|a|＋|b|)(1＋|a＋b|)≥|a＋b|(1＋|a|＋|b|)． 两边同除以(1＋|a＋b|)(1＋|a|＋|b|)得 ≥. 又由法一知，原不等式成立． 法四：构造函数f(x)＝， 任取x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，有 f(x1)－f(x2)＝－＝＜0. ∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数． 又|a|＋|b|≥|a＋b|，∴f(|a|＋|b|)≥f(|a＋b|)， 即≥. 又由法一知，所证不等式成立． （2）已知|x＋1|<，|y－2|<，|z＋3|<，求证：|x＋2y＋z|<ε； 【证明】 |x＋2y＋z|＝|x＋1＋2(y－2)＋z＋3| ≤|x＋1|＋|2(y－2)|＋|z＋3|＝|x＋1|＋2|y－2|＋|z＋3| <＋＋＝ε.∴|x＋2y＋z|<ε. 19、（本题满分14分） 已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－4|； （1）解不等式f(x)≤6； （2）若不等式f(x)＋|x－4|<a2－8a有解，求实数a的取值范围． 【解析】（1）由已知得f(x)＝ 当x<－时，原不等式可化为－3x＋3≤6，即x≥－1，∴－1≤x<－； 当－≤x≤4时，原不等式可化为x＋5≤6，即x≤1，∴－≤x≤1； 当x>4时，原不等式可化为3x－3≤6，即x≤3(舍去)． 综上，f(x)≤6的解集为[－1,1]． （2）f(x)＋|x－4|＝|2x＋1|＋|2x－8|≥9， ∵f(x)＋|x－4|<a2－8a有解，∴a2－8a>9，即(a－9)(a＋1)>0，解得a<－1或a>9， ∴实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞)； 【说明】本题考查了利用绝对值不等式的性质求最值；求含绝对值函数的最值时，常用的方法有三种： 1、利用绝对值的几何意义； 2、利用绝对值的三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||； 3、利用零点分段法，转化为分段函数求最值； 20. （本题满分16分） 已知函数恒成立． （1）求的取值范围； （2）若的最大值为，当正数、满足时，求的最小值． 【提示】（1）函数恒成立，即恒成立，设函数，则，利用绝对值不等式的性质求得即可得解； （2）由（1）可得，然后利用基本不等式计算即可求得的最小值； 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）函数恒成立， 即恒成立， 设函数，则， 又， 即的最小值为4，所以； （2）由（1）知，正数a，b满足， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为． 【说明】本题考查绝对值不等式的应用，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 21. （本题满分18分） 已知实数、、、，显然，定义两实数的误差为两数差的绝对值； （1）求证：； （2）若任取，，与的误差，与的误差最大值均为，求：与误差的最大值，并求出此时、、、的值. 【提示】（1）由，根据即可得证； （2）根据（1）的结论及两个实数误差的定义运算即可得解. 【答案】（1）证明见解析；（2）2.01，此时，，， 【解析】（1） . （2）因为， 由（1） ， 此时只需等号成立. 学科网（北京）股份有限公司