2024届上海市高考数学新高考新教材新增知识系列：6 《数学方法：反证法》【专项测试】.docx

【沪教版2020】高中数学 新增知识 时间：90分钟 满分：150分 班级 姓名 【教师版】 《数学方法：反证法》【专项测试】 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按要求在规定的位置上作答； 2．解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤； 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1、用反证法证明命题“如果那么”时，假设的内容是 2、用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为 3、命题“△ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是 4、命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________． 5、用反证法证明命题“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a，b全为0”，其反设正确的是 6、用反证法证明“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设结论为______________． 7、用反证法证明命题“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设 8、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为 9、设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2； 其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 _(填序号)． 10、有下列四个命题： ①同一平面内，与两条相交直线分别垂直的两条直线必相交； ②两个不相等的角不是直角； ③平行四边形的对角线互相平分； ④已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1. 其中适合用反证法证明的是________． 11、用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误； ②所以一个三角形不能有两个直角； ③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°. 上述步骤的正确顺序为__________． 12、完成反证法证题的全过程． 题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数； 证明：假设p为奇数，则__________均为奇数．① 因7个奇数之和为奇数，故有 (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为__________．② 而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝__________.③ ②与③矛盾，故p为偶数． 二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13、已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　) A．一定是异面直线　　 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 14、设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15、①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2； ②若a、b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程 x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1． 以下结论正确的是(　　) A．①与②的假设都错误 B．①的假设正确；②的假设错误 C．①与②的假设都正确 D．①的假设错误；②的假设正确 16、下列命题运用“反证法”证明正确的是(　　) A．命题：若a>b>0，则>.用反证法证明：假设>不成立，则<.若<，则a<b，与已知a>b矛盾．故假设不成立，结论>成立 B．命题：已知二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)有实根，求证：Δ＝b2－4ac≥0. 用反证法证明：假设Δ＝b2－4ac<0，则ax2＋bx＋c＝0无实根，与已知方程有实根矛盾，∴Δ≥0 C．命题：已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根．用反证法证明：假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实数根，由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2<p<－，而关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0的根的判别式Δ＝4(p2－4)， ∵－2<p<－，∴<p2<4，∴Δ<0，即关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根 D．命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.“若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0”． 用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a. ∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数， 则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)， ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)． 这与已知相矛盾．∴原命题成立 三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17. （本题满分14分） 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋. 求证：a，b，c中至少有一个大于0. 【提示】 【证明】 18、（本题满分14分） 证明：对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k， 使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称． 19、（本题满分14分） 求证：两条相交直线有且只有一个交点． 20. （本题满分16分） （1）求证不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立． （2）已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：， ， 不成等差数列． 21. （本题满分18分） 若实数，，满足，则称比远离； （1）用反证法证明：当时，不比远离； （2）若，是两个不相等的正数，证明：对任意大于的正整数，比远离. 【教师版】 《数学方法：反证法》【专项测试】 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按要求在规定的位置上作答； 2．解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤； 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1、用反证法证明命题“如果那么”时，假设的内容是 【提示】反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑的反面是什么即可． 【答案】； 【解析】因为，的反面是（或或） 【说明】本题主要考查了不等式证明中的反证法；． 2、用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为 【答案】a，b，c中至少有一个偶数； 【解析】a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”； 3、命题“△ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是 【答案】a≤b； 【解析】 “大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”； 4、命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________． 【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形 【解析】 “至少有一个”的否定是“没有一个”． 5、用反证法证明命题“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a，b全为0”，其反设正确的是 【答案】a，b至少有一个不为0 6、用反证法证明“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设结论为______________． 【答案】x＝a或x＝b 【解析】否定时一定要全面否定，“x≠a且x≠b”的否定是“x＝a或x＝b”． 7、用反证法证明命题“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设 【答案】x≠－1且x≠1 【解析】反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是x≠－1且x≠1． 8、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为 【答案】③①② 【解析】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论． 9、设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2； 其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 _(填序号)． 【答案】③； 【解析】若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出； 若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出． 若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出． 对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1. 反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1； 10、有下列四个命题： ①同一平面内，与两条相交直线分别垂直的两条直线必相交； ②两个不相等的角不是直角； ③平行四边形的对角线互相平分； ④已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1. 其中适合用反证法证明的是________． 【答案】①②④ 【解析】由反证法适用的题型知，①，②，④适用于反证法，③可直接证明． 11、用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误； ②所以一个三角形不能有两个直角； ③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°. 上述步骤的正确顺序为__________． 【答案】③①②； 【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②； 12、完成反证法证题的全过程． 题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数； 证明：假设p为奇数，则__________均为奇数．① 因7个奇数之和为奇数，故有 (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为__________．② 而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝__________.③ ②与③矛盾，故p为偶数． 【答案】①a1－1，a2－2，…，a7－7　②奇数　③0 【解析】由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数， 故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数， 这与0为偶数矛盾． 二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13、已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　) A．一定是异面直线　　 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 【答案】C ； 【解析】假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C. 14、设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C ； 【解析】首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0， 则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，与b>0矛盾； 故P，Q，R都大于0； 15、①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2； ②若a、b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程 x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1． 以下结论正确的是(　　) A．①与②的假设都错误 B．①的假设正确；②的假设错误 C．①与②的假设都正确 D．①的假设错误；②的假设正确 【答案】D； 【解析】对于①，结论的否定是p＋q>2，所以①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D； 16、下列命题运用“反证法”证明正确的是(　　) A．命题：若a>b>0，则>.用反证法证明：假设>不成立，则<.若<，则a<b，与已知a>b矛盾．故假设不成立，结论>成立 B．命题：已知二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)有实根，求证：Δ＝b2－4ac≥0. 用反证法证明：假设Δ＝b2－4ac<0，则ax2＋bx＋c＝0无实根，与已知方程有实根矛盾，∴Δ≥0 C．命题：已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根．用反证法证明：假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实数根，由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2<p<－，而关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0的根的判别式Δ＝4(p2－4)， ∵－2<p<－，∴<p2<4，∴Δ<0，即关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根 D．命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.“若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0”． 用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a. ∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数， 则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)， ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)． 这与已知相矛盾．∴原命题成立 【答案】D； 【解析】A．反证法中的反证不全面，“>”的否定应为“≤”． B．本题犯了“循环论证”的错误，实质上没有求出该题． C．在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法． 三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17. （本题满分14分） 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋. 求证：a，b，c中至少有一个大于0. 【提示】注意阅读理解“至少有一个”； 【证明】假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0. ∵a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋， ∴x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋ ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)≤0.① 又∵(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，π－3＞0， ∴(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)＞0.② ① 式与②式矛盾，∴假设不成立，即a，b，c中至少有一个大于0. 18、（本题满分14分） 证明：对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k， 使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称． 【证明】假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 得(3－k2)x2－2kx－2＝0. ∴x1＋x2＝，x1x2＝. ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝. ∴ 由②得ka＝3，与①矛盾． ∴假设不成立，故不存在实数k，使得A，B关于直线y＝ax对称． 19、（本题满分14分） 求证：两条相交直线有且只有一个交点． 【提示】注意高中数学几何问题的前提是“空间”；根据题意，写出已知、求证，再用反证法，即否定结论，把假设和已知条件结合起来去推出矛盾． 【证明】　假设结论不正确，则有两种可能：a与b无交点，或不止有一个交点． 若直线a，b无交点， 则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾． 若直线a，b不止有一个交点， 则至少有两个交点A和B， 这样同时经过点A，B就有两条直线， 这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾． 综上所述，两相交直线a与b有且只有一个交点． 【说明】1、用反证法证明问题时要注意以下三点： ①必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的． ②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法． ③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的． 2、注意本题反设中不能漏掉“无交点”这种情况； 20. （本题满分16分） （1）求证不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立． 【提示】　本题从正面证很难证明，用反证法证明． 【证明】假设存在实数x，y，使得等式＋＝成立，∴x(x＋y)＋y(x＋y)＝xy， 即x2＋y2＋xy＝0，∴2＋y2＝0， 又y≠0，∴y2＞0，又2≥0， ∴2＋y2＞0，与x2＋y2＋xy＝0相矛盾，故原命题成立． （2）已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：， ， 不成等差数列． 【证明】假设， ， 成等差数列，则＋＝2， 即a＋c＋2＝4b. 又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac， 即b＝，所以a＋c＋2＝4， 所以a＋c－2＝0，即(－)2＝0， 所以＝，从而a＝b＝c， 所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故， ， 不成等差数列． 21. （本题满分18分） 若实数，，满足，则称比远离； （1）用反证法证明：当时，不比远离； （2）若，是两个不相等的正数，证明：对任意大于的正整数，比远离. 【提示】（1）假设当时比远离，即，即，转化为，推出矛盾即可； （2）利用基本不等式得到，， 再判断的正负即可； 【解析】（1）假设当时比远离，则，即， 得，即， 所以. 又当时，，，， 所以，与上式矛盾， 所以假设不成立， 所以原命题成立. （2）因为，是两个不相等的正数， 所以，， 所以 . 若，则由，为大于的正整数，可知， 所以， 所以， 所以比远离； 若，同理可得比远离. 综上所述，对任意大于的正整数，比远离. 第13页 学科网（北京）股份有限公司