用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化学科网（北京）股份有限公司【学生版】微专题：平面向量中一个优美结论的证明与应用平面向量问题是高中数学中的一个热点，高考中针对性考查，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，但有时也会以出现压轴题型出现。平面向量中有许多有趣的结论，但说到最优美的结论，那要数被形象与趣称的“奔驰定理”；由于这个定理的几何表示和奔驰的logo很相似，所以，人们把其称为“奔驰定理”；但是，这只是坊间约定与戏说；所以，正式、正规考试的解答题，若用到此结论，必须加以证明；“奔驰定理”：如图，已知为内一点，则有；由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，坊间约定与戏称为“奔驰定理”；这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用；【典例】例1、如图，已知为内一点，证明：有；【提示】；【解析】【说明】以上证明整合了向量的线性运算、三点共线与平面几何性质、面积公式的交汇；例2、设点在所在平面内，若，则与的面积比为【提示】；【答案】；【解析】方法1：方法2：【说明】通过本题说明：理解“奔驰定理”对于符合题设的填充、选择题可以快捷、方OABCOABC第1页用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化学科网（北京）股份有限公司便解答；其本质还是向量线性运算与平面几何性质与运算的综合应用；例3、定义：“在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理””，若的三边为a，b，c，现有则O为的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心例4、若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则下列命题中正确命题的序号是①为的垂心；②；③；④【归纳】1、对“奔驰定理”的理解与拓展第2页用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化学科网（北京）股份有限公司为内一点，，则.重要结论：，，.结论1：对于内的任意一点，若、、的面积分别为、、，则：.即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.结论3：对于内的任意一点，若，则、、的面积之比为.即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各...
