用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化学科网（北京）股份有限公司【学生版】微专题：三角形四心的应用与向量的交汇【三角形四心的概念介绍】(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。【三角形四心的向量式】三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则（1）O为△ABC的重心⇔OA＋OB＋OC＝；（2）O为△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|＝⇔sin2A·OA＋sin2B·OB＋sin2C·OC＝；（3）O为△ABC的内心⇔aOA＋bOB＋cOC＝0⇔sinA·OA＋sinB·OB＋sinC·OC＝；（4）O为△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA⇔tanA·OA＋tanB·OB＋tanC·OC＝；【典例】例1、著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理；设点O，H分别是的外心、垂心，且为中点，则（）A．B．C．D．【提示】；【答案】；【解析】【说明】结合选择题的特点：利用特殊位置、特殊图形往往也是奏效的方法；例2、已知是锐角三角形的外接圆的圆心，且，若，则m＝()A．B．C．D．不能确定【提示】；【答案】；第1页用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化学科网（北京）股份有限公司【解析】【说明】利用向量的数量积运算进行转化，是解答本题的关键；例3、在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝，O是△ABC的内心，若OP＝xOB＋yOC，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）A．B．C．4D．6例4、已知O是△ABC的外心，∠C＝45°，则OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是（）A．[－，]B．[－，1)C．[－，－1]D．(1，]例5、在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，A＝，且AO＝λAB＋μAC，则λμ的最大值为________．【归纳】关于四心的概念及性质：（1）重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．第2页用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化学科网（北京）股份有限公司性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③在平面直角坐标系中，重心的坐标...
