8.10圆锥曲线的综合问题-2022届高考数学一轮复习讲义.docx

8.10 圆锥曲线的综合问题 例1．设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． （1） 求椭圆的方程； （2）设A, B分别为椭圆的左、右顶点， 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C、 D两点． 若，求k的值． 【答案】（1）椭圆的方程为； （2），直线 设 联立 ，整理得：，， 又 所以 ，解得. 例2．已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点. （1）证明：抛物线在点处的切线与平行； （2）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）如图，设. 把代入得，由韦达定理得. ∴，∴点的坐标为. 设抛物线在点处得切线的方程为， 将代入上式得， ∵直线与抛物线相切，∴，∴，即. （2）假设存在实数，使，则. 又∵是的中点，∴. 由（1）知. ∵轴，∴. 又 . ∴，解得，即存在，使. 例3．已知椭圆过点，且． （1）求椭圆C的方程： （2）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点． 求的值． 【答案】（1）椭圆方程为：. （2）设，，直线的方程为：， 与椭圆方程联立可得：， 即，则. 直线MA的方程为：， 令可得：， 同理可得：.很明显，且， 注意到， 而： ，故. 从而. 例4．已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 【答案】（1）椭圆C的方程为． （2） 设M，N 由得， 则，． 故|MN|===． 由因为点A（2,0）到直线的距离， 所以△AMN的面积为． 由， 解得，经检验，所以． 例5．如图，已知抛物线，圆，过点 作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆 相切，A，B为切点. （1）求点A，B的坐标；（2）求的面积. 【答案】（1）由题意可知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为. 联立消去，整理得：. 因为直线与抛物线相切，所以，解得.所以，即点. 设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点，关于直线对称， 故有，解得.即点. （2）由（1）知，，直线的方程为， 所以点到直线的距离为. 故的面积为. 【课后作业】 1．已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线：与椭圆交于，两点，与以为直径的圆交于，两点，且满足，求直线的方程. 【答案】（1）椭圆的方程为 （2）由题意可得以为直径的圆的方程为 圆心到直线的距离为，由，即，可得， 设，联立 整理得，可得：， ， ，解方程得，且满足 直线的方程为或. 2．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】（1）椭圆C的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为 联立，整理得 ，则， 故， 因为的面积为,所以， 设，则，整理得，解得或（舍去）， 即. 故直线的方程为. 3．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值． 【答案】（1）椭圆的方程为． （2）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，， 点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得， 从而，即． 易知直线的方程为，由方程组，可得． 由方程组，可得．由，可得， 两边平方，整理得，解得，或． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，，符合题意． 所以，的值为． 4．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线交于，两点，且． （1）求抛物线的标准方程． （2）在轴上是否存在一点，使为正三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由题意，设所求抛物线的标准方程为． 由，消去，得． 设，，则，． 由， 得，解得或（舍去）， ∴抛物线的标准方程为． （2）设的中点为点，则． 假设在轴上存在满足条件的点，连接． ∵为正三角形，∴，即， 解得，∴，∴． 又， ∴在轴上不存在一点，使为正三角形．