11.2 正弦定理-2021-2022学年高一数学《重点•难点•热点》精讲与精练分层突破（苏教版2019必修第二册）.docx

11.2 正弦定理 【考点梳理】 考点一　正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即＝＝. 考点二　正弦定理的变形公式 1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2.sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径). 【题型归纳】 题型一：正弦定理解三角形 1．已知中，，，，则（       ） A． B． C．或 D．或 2．如图，已知在中，，点在边上，且满足，则（       ） A． B． C． D． 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则范围为（       ） A． B． C． D． 题型二：正弦定理判定三角形解的个数 4．已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是（     ） A．①④ B．①② C．①②③ D．③④ 6．根据下列条件，判断三角形解的情况，下列结论中正确的是（        ） （1），，，有一个解. （2），，，有两个解 （3），，，无解 （4），，，有一解 A．（1）（2） B．（2）（4） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4） 题型三：正弦定理求外接圆的半径 7．，，分别为内角，，的对边．已知，，则外接圆的面积为（       ） A． B． C． D． 8．已知，，分别为三个内角，，的对边，且，的外接圆半径为2.则（       ） A． B．2 C． D．4 9．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，，，则的外接圆的直径为（        ） A． B． C． D． 题型四：正弦定理边角互化的应用 10．的角A，B，C所对的边为a，b，c，设，则（       ） A． B． C． D． 11．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(b+a+c)(a+b－c)=3ab，2cosAsinB=sinC，则△ABC是（       ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA-sinC)=sinB，a2=5c2+2accosB，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为（　　） A．6+2 B．4+ C．+4 D．3+2 题型五：正弦定理的综合性问题 13．在中，角，，所对的边分别，，．已知． (1)求； (2)若，，设为延长线上一点，且，求线段的长． 14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若，的面积为，求的周长. 15．如图，在中，，，点D在线段BC上. (1)若，求AD的长； (2)若，的面积为，求的值. 【双基达标】 一、单选题 16．已知中，，则c=（       ） A．1 B． C． D． 17．的三个内角分别为A，B，C，且，，，则（       ） A． B． C． D． 18．在中，，，点在边上，满足且，则（       ） A．45° B．40° C．35° D．30° 19．在中，若，，，则此三角形解的情况为（       ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解 20．已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 21．在中， (1)已知，，，求； (2)已知，，，求； (3)已知，，，求； (4)已知，，，求． 22．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，. (1)若，求b. (2)若______，求c的值及的面积. 请从①，②，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答. 【高分突破】 一：单选题 23．在中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若，则最大角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 24．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为（       ） A．1 B． C．2 D． 25．已知△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列四个命题中，不正确的命题是（       ） A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则是等腰或直角三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，且，则是等边三角形 26．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，，则（       ） A． B． C． D． 27．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积．根据此公式，若，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 28．在中，角、、所对的边分别为、、，且、、，下面说法错误的是（       ） A． B．是锐角三角形 C．的最大内角是最小内角的倍 D．内切圆半径为 29．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（       ） A．若是锐角三角形，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若是等边三角形，则 30．若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（       ） A．角一定为锐角 B． C． D．的最小值为 31．如图，设的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，且．点D是外一点，，下列说法中，正确的命题是（       ） A．的内角 B．的内角 C．四边形的面积最大值为 D．四边形的面积无最大值． 32．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的是（       ） A．若，则 B． C． D．三角形三边长分别为，，，则最大角为 33．在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（       ） A． B．若，则 C． D．若，且，则△为等边三角形 三、填空题 34．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角的大小为_________． 35．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的面积为______. 36．如图：在中，，点在线段上，且，，求的面积最大值___________ 37．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则______ 38．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若，则sinA+sinC的最大值是____________． 四、解答题 39．已知、、分别为内角A、B、C的对边，． (1)求； (2)若，，求的面积． 40．的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知 (1)求角C的大小； (2)若，，求的值. 41．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答该题． 已知的内角，，所对的边分别是，，，满足_______． （1）求角； （2）若，且外接圆的直径为2，求的面积． 42．设函数，已知函数的图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c（其中），且，的面积为，，求b，c的值. 43．在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答. 在中，角所对的边分别为，且___________. （1）求角A的大小； （2）若，求面积的最大值. 44．在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求的大小； （2）若，求的面积； （3）求的最大值. 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案详解】 1．D 【解析】 【分析】 直接利用正弦定理求解即可． 【详解】 在中，由正弦定理，得， 所以，又，所以或. 故选：D 2．D 【解析】 【分析】 根据给定条件求出，，在中由余弦定理求出，再在中由正弦定理计算作答. 【详解】 在中，， ，则， 因，则， 在中，由余弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：， 所以. 故选：D 3．A 【详解】 因为 所以由正弦定理得，， 所以， 因为，所以． 因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，． 故． 故选：A 4．B 【详解】 对于A选项，由正弦定理可得，且，故有两解； 对于B选项，由正弦定理可得，且，故只有一解； 对于C选项，由正弦定理可得，故无解； 对于D选项，因为，则角为的最大内角，且，故无解. 故选：B. 5．B 【详解】 ①，三角形有两解；②，三角形有两解；③，三角形有一解；④，三角形无解. 故选：B. 6．D 【解析】 【分析】 由条件利用正弦定理求得角的正弦值，再根据大边对大角可得三角形解得个数，从而得出结论. 【详解】 对于（1）：，，，由正弦定理得，解得，有唯一解，故（1）正确； 对于（2）：，，，由正弦定理得 ，解得，再由大边对大角可得C> B ,故C可以是锐角也可以是钝角，故三角形有2解，故（2）正确。 对于（3）：，，，则由正弦定理得，解得，再由大边对大角，可得C为锐角，故三角形有唯一解，故（3）不正确， 对于（4）：，，，由正弦定理得，解得，再由B为锐角，可得三角形有唯一解，故（4）正确， 故选：D. 7．B 【解析】 【分析】 由正弦定理和题设条件求得，再由，求得，利用圆的面积公式，即可求解. 【详解】 因为，由正弦定理得，可得． 设外接圆的半径为，则，即， 故外接圆的面积为． 故选：B. 8．B 【解析】 【分析】 由正弦定理将已知条件边化角，结合两角和的正弦公式化简，再利用正弦定理即可得出． 【详解】 根据正弦定理知， 又因为， 所以，又，所以， 所以， 即，所以， 由正弦定理可得，解得， 故选：B. 9．C 【解析】 【分析】 先根据三角形面积公式求得边的长，进而利用余弦定理求得，最后根据正弦定理即可求得三角形外接圆的直径． 【详解】 解：在中， ， ， ， ， ， 即， 的外接圆的直径等于． 故选：C． 10．C 【解析】 【分析】 利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得； 【详解】 解：因为，由正弦定理可得，即，所以，又，所以，因为，所以； 故选：C 11．D 【解析】 【分析】 由有，根据余弦定理可求出角，再将化为，化简然后可得出，可得答案. 【详解】 由有, 由余弦定理有：， 又角，所以. 又，即， 所以 则，即, 又，所以, 即，故为等边三角形. 故选：D 12．A 【解析】 【分析】 根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理角化边，求出边a，c的关系，再借助三角形面积定理计算即得. 【详解】 在△ABC中，由正弦定理及(sinA-sinC)=sinB得：(a-c)=b， 由余弦定理及a2=5c2+2accosB得：a2=5c2+，解得b=c， 因此有a=2c，从而得cosB==-，则有sinB＝， 于是得S△ABC，解得c=2，则a=4，b=2， 所以△ABC的周长为a+b+c=6+2. 故选：A 13．(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可； （2）根据正弦定理，结合两角和的余弦公式进行求解即可. (1) ， 由正弦定理可得： ， ，，，； (2) 由（1）知， ，， 由正弦定理可得，，即， ， 或（舍去）， ， ， ，， ， ． 14．(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理得到，再使用余弦定理求出A；（2）由面积公式求出，再使用余弦定理求出，进而求出周长. (1) 因为，所以， 化简得，所以. 因为，所以. (2) 因为的面积为，所以，得. 因为，，所以，整理得，解得. 故的周长为. 15．(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）在中，由正弦定理求得； （2）由题可得面积，由面积公式求得，再由余弦定理求得，然后利用正弦定理即得． (1) 在三角形中，∵， ∴， 在中，由正弦定理得， 又，，， ∴. (2) ∵， ∴，， 又的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由余弦定理得， ∴， 在中，由正弦定理得 ∴. 16．C 【解析】 【分析】 根据三角形内角和求出，再根据正弦定理求出. 【详解】 因为，所以， 由正弦定理可得， 故选：C. 17．B 【解析】 【分析】 先求出角C，利用正弦定理即可求得. 【详解】 在中，因为，，所以. 由正弦定理得：，解得：. 故选：B 18．B 【解析】 【分析】 由题中角的关系及正弦定理可求解. 【详解】 在中，如图所示： 其中，，，且. 记， 在中，由正弦定理得， 又， 在中，， 由正弦定理得，即， 化简得， 因为且或， 因此或，解得或（舍）. 故选：B 19．B 【解析】 【分析】 根据正弦定理可得，从而判断的范围，再根据边角关系，可得答案. 【详解】 由正弦定理可得， ， ， ，， ， 得， 可能为锐角，也可能为钝角， B有两个值， 故选:B. 20．D 【解析】 【分析】 由正弦定理把,表示为的函数，然后利用二倍角公式，两角和与差的余弦公式变形，并结合余弦函数性质得范围． 【详解】 由正弦定理得，则，，又，则， 所以 ， ，所以，所以， 所以． 故选：D． 21．(1) (2)或 (3) (4) 【解析】 【分析】 （1）由已知利用三角形的内角和定理可求的值，根据正弦定理可得的值； （2）由余弦定理可得，即可解得的值； （3）由余弦定理即可求解的值； （4）由余弦定理可求，结合的范围，可求的值． (1) 解： ，，， ，因为， 由正弦定理，可得； (2) 解：，，， 由余弦定理，可得，可得，解得或； (3) 解：，，． 由余弦定理，可得； (4) 解：，，， ， ， ． 22．(1)； (2)选；选 【解析】 【分析】 (1)根据正弦定理计算即可得出结果； (2)利用余弦定理或正弦定理求出c的值，再结合三角形的面积公式计算即可. (1) ，由正弦定理，得， 所以； (2) 选①：由余弦定理，得，即， 整理，得，由c>0，得c=4， 所以； 选②：因为，由正弦定理，得c=2a， 所以c=6，所以. 23．B 【解析】 【分析】 先由正弦定理得到，进而确定最大角为C，利用余弦定理求出. 【详解】 由正弦定理得：，可知：，设，则最大角为C，， 故选：B 24．B 【解析】 【分析】 由正弦定理和余弦定理化角为边后，利用余弦定理求得，代入已知条件并应用基本不等式求得的最小值，得的最大值，即得三角形面积最大值． 【详解】 解：， ，化简得，即， 由余弦定理知，， ， ， 的面积． 故选：B． 25．C 【解析】 【分析】 A．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；B．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；C．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；D．根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果. 【详解】 A．因为，所以， 即 所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故正确； B．因为，所以 ， 所以， 所以，所以， 所以，所以或， 所以为等腰或直角三角形，故正确； C．因为，所以，所以， 所以，所以，所以或， 所以为等腰或直角三角形，故错误； D．因为，所以，所以或（舍），所以， 又因为，所以且，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以，所以为等边三角形，故正确. 故选：C 26．A 【解析】 【分析】 根据题意，得到，结合正弦定理和两角和正弦公式，求得，得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】 因为，且，， 所以，即， 由正弦定理和两角和的正弦公式， 可得，即. 由，可得，所以，所以， 在中，，，，所以，故. 故选：A. 27．C 【解析】 【分析】 先根据正弦定理可求，再求出后可求面积. 【详解】 因为，故由正弦定理可得： 即， 而，故，故， 由余弦定理可得，故， 故， 故选：C. 28．BCD 【解析】 【分析】 A选项，由正弦定理判断；B选项，根据，得到中最大角为角，再利用余弦定理判断；C选项，假设，由求解判断；D选项，设的内切圆半径为，由求解判断. 【详解】 A选项，∵，、、，∴，对， B选项，由于，则中最大角为角， ∵，∴，∴是钝角三角形，错， C选项，假设的最大内角是最小内角的倍，则， 即， 又，即，，不符合题意，错， D选项，∵，∴， ∴， 设的内切圆半径为，则， ∴，错， 故选：BCD. 29．ACD 【解析】 【分析】 利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D. 【详解】 对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确； 对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确； 对于D，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正确. 故选：ACD. 30．BC 【解析】 【分析】 结合降次公式、三角形内角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】 依题意， ，， 为钝角，A选项错误. ， ，B选项正确. ，由正弦定理得， ，， 由于，为钝角，为锐角，所以两边除以得，.C选项正确. ， ， 整理得， 由于为钝角，，所以， 当且仅当时等号成立. 所以，D选项错误. 故选：BC 31．ABC 【解析】 【分析】 由正弦定理化边为角后求得，从而得三角形的内角，判断AB，用角表示出四边形的面积（先由余弦定理求得），然后由三角函数知识得最值判断CD． 【详解】 因为，由正弦定理得， 为三角形内角，，所以，， 所以，或， 又，所以不合题意，所以，从而，AB正确； 中，， 所以， ，，所以，即时，为最大值，无最小值．C正确，D错． 故选：ABC． 32．AD 【解析】 【分析】 利用余弦定理计算可判断A，D；利用诱导公式可判断B；利用正弦定理变形判断C即可作答. 【详解】 对于A，在中，，由余弦定理得，A正确； 对于B，中，，于是得，B不正确； 对于C，中，由正弦定理得：，C不正确； 对于D，中，，则是最大边，记为边c，它所对角为最大角， 由余弦定理得：，而，从而得，即最大角为，D正确. 故选：AD 33．ACD 【解析】 【分析】 A由正弦定理及等比的性质可说明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有，由正弦定理即可证；D若，，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△的形状. 【详解】 A：由，根据等比的性质有，正确； B：当时，有，错误； C：，而，即，由正弦定理易得，正确； D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为， 易知△为等边三角形，正确. 故选：ACD 【点睛】 关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状. 34．## 【解析】 【分析】 由正弦定理得，化简得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】 因为，可得的， 由正弦定理得， 因为， 化简得， 又因为，可得，所以， 又由，可得. 故答案为：. 35． 【解析】 【分析】 先求出，再由正弦定理即可求出外接圆半径，进而求出面积. 【详解】 因为，所以， ， 因为，所以， 所以，.所以， 因为，所以，. 故答案为： 36． 【解析】 【分析】 由余弦定理得出，平方关系计算出，利用基本不等式可得，根据可得答案. 【详解】 由余弦定理得， 因为，， ， 即，所以当且仅当等号成立， 因为， 所以， 所以的面积最大值为. 故答案为：. 37． 【解析】 【分析】 利用正弦定理和两角和的正弦公式化简得到，进而得到，即可求解. 【详解】 因为， 由正弦定理可得， 因为，可得， 所以， 又因为，可得，所以，所以. 故答案为：. 38． 【解析】 【分析】 根据已知，利用三角形面积公式、余弦定理可得，B为钝角知，由三角形内角和的性质得，即可求最大值. 【详解】 由题设，，则， ∴，又 B为钝角即为锐角， ∴，即，又， ∴且， 而， ∴当时，的最大值为. 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：根据已知条件，利用三角形面积公式、余弦定理可得到，再应用三角形内角性质及三角恒等变换写出关于的二次函数式，求最值. 39．(1)； (2). 【解析】 【分析】 (1)结合已知条件，根据正弦定理边化角和三角恒等变换即可求B； (2)根据余弦定理求a，再根据三角形面积公式即可求解. (1) 由已知及正弦定理得， ∵，C∈(0，π)，sinC≠0， ∴，即，∵B∈(0，π)，∴； (2) 由余弦定理得，解得或(舍)． ∴. 40．(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理和两角和的正弦展开式可得答案； （2）利用面积公式和余弦定理可得答案. (1) 因为，由正弦定理得 ， ， ， ， 因为，所以， 因为，所以. (2) ∵， 由余弦定理得 ， 又， . 41．（1）．（2）. 【解析】 【分析】 （1）选①，由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得； 选②，由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得； 选③，由诱导公式变形后，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得； （2）由正弦定理求得，平方后，结合余弦定理求得，再由三角形面积公式计算出面积． 【详解】 解：（1）若选①，因为， 则由正弦定理知：，即， 由辅助角公式，整理得：， 由，故， 可得角． 若选②，因为， 所以由正弦定理可得，即， 因为， 所以可得， 因为， 所以． 若选③，因为，可得， 所以由正弦定理可得，即， 所以由余弦定理可得， 因为， 所以． （2）由，平方知：， 由正弦定理知：， 由余弦定理知：， 从而有，解得：， 故的面积． 42．(1) (2)， 【解析】 【分析】 （1）应用和角正弦公式、二倍角余弦公式化简，由题设知即可求，写出其解析式. （2）由（1）及已知可得，再利用三角形面积公式、余弦定理可得、，进而求b，c的值. (1) . 由题设，，则， ∴. (2) 由题设，，则或， ∴或，又， ∴， 由，则， ，则， ∴，解得或，又， ∴，可得，故. 综上，，. 43．条件选择见解析；（1）；（2）最大值为. 【解析】 【分析】 （1）选①，根据，展开化简得到，再利用正弦定理和余弦定理求解； 选②，根据，利用二倍角公式化简得到求解； 选③，利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得到求解； （2）由（1）知，再由，利用余弦定理结合基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求解. 【详解】 （1）选①，因为， 所以， 即， 所以由正弦定理得， 由余弦定理知， 因为，所以； 选②，因为 ， 所以，， 因为，所以； 选③，由正弦定理得， 得， 即，即，又， 所以，所以，又，从而得； （2）由（1）得，又，由余弦定理 ， 所以，当且仅当时取得等号， 故，当且仅当时取得等号， 所以面积的最大值为. 44．（1）；（2）；（3）最大值为. 【详解】 （1）因为，又， 所以， 所以， 所以， 因为，，所以，可得. （2）因为，所以，所以， 所以的面积为. （3）由，得， 因为，所以，所以（当且仅当时取等号）. 设，则，所以， 设， 则在区间上单调递增，所以的最大值为， 所以，的最大值为. 37 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！