10.7离散型随机变量及其分布列-2022届高考数学一轮复习讲义.doc

10.7随机变量的分布列、期望与方差 一、学习目标 1.了解离散型随机变量及其分布列的概念； 2.理解离散型随机变量的分布列的性质； 3.理解期望、方差的概念，会求随机变量的期望与方差； 4.了解离散型随机变量常见的几类分布：①两点分布； ②二项分布； ③超几何分布. 二、 知识回顾： 1.离散型随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质： （1）一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值（）的概率，则表 称为离散型随机变量的分布列. （2）离散型随机变量的分布列的性质：①；② 2.一般地，若离散型随机变量的分布列为 （1） 均值（期望）：它反映了随机变量的取值的平均水平； （2） 方差：它反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，刻画了随机变量的稳定性. 3.常见的离散型随机变量的分布列： （1）两点分布：若的分布列为 ，其中称为成功概率. （2）超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，其中，则称服从超几何分布，其分布列为 （3）二项分布：在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则此时称随机变量服从二项分布，记作， 且， 三、 典例分析 例1（1）下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（ ） A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X B．某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化，该水位监测站所测水位H C．从装有1红、3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数ξ D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X （2）袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（ ） A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3… 【答案】（1）B； （2）B. 例2．（1）若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则的值为（ ） A．0 B． C． D．1 （3） 设随机变量的分布列为，，为常数， 则______. 【答案】（1）B； （2）. 例3.已知盒子中有大小形状都相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球． （1）若依次从中取出3个球，记取出的3个球中白球个数为，求的分布列及、； （2）若每次从中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，记3次摸球中摸到白球的次数为，求的分布列及求、． 【答案】（1） 1 2 3 ，； （2） 0 1 2 3 ，． 例4．从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，． （）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值． （）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率． 【答案】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3. ， ， ， . 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望. （2）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 . 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为. 例5.（1）随机变量的取值为0，1，,2，若，，则_______. （2）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则________，________. 【答案】（1）； （2）2 例6.（1）已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，则 A．<，< B．<，> C．>，< D．>，> （2）设，随机变量的分布列是 则当在内增大时，（ ） A.减小 B.增大 C.先减小后增大 D.先增大后减小 【答案】（1）A； （2）D. 解析：（1）∵，，∴， ∵，∴，故选A． （2）， ， ，∴先增后减，因此选D. 四、课外作业 1．已知随机变量X服从二项分布X～B，则P(X＝2)＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2.已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立，现有该盆栽植物株.设为其中成活的株数，若，，则，的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 3．随机变量的取值为0，1，2，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 4.已知，随机变量的分布列如下表： 1 2 3 当增大时，则（ ） A.增大，增大 B.减小，增大 C.增大，减小 D.减小，减小 【答案】A 5.在一个箱子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球，现从中不放回的摸取3个球，设摸得的白球个数为，黑球个数为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 6..随机变量的分布列如下： 其中成等差数列，若 则的值是______. 【答案】 7.已知袋子中有3个红球和2个白球，现从袋中各随机取出2个球，记取出的红球个数为，则_______. 【答案】 8．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=________． 【答案】 【详解】∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋2××()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝． 9．袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则_______，_______. 【答案】1； . 解析：，所以， , 所以, 则． 由于 ． 10．盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______． 【答案】； . 解析：因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球， 所以， 随机变量，， ，所以. 11．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； （2）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件， 则． （2）随机变量的所有可能值为0，1，2，3． 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望． 12．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率； （2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝， ｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝，｛顾客抽奖1次获一等奖｝， ｛顾客抽奖1次获二等奖｝， ｛顾客抽奖1次能获奖｝， 由题意，与相互独立，与互斥，与互斥， 且，，， ∵，，∴， ， 故所求概率为； （2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为， ∴，于是； ；；， 故的分布列为 0 1 2 3 故的数学期望为.