9.1.2分层随机抽样（教学设计）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册).docx

《9.1.2 分层随机抽样》 教学设计 本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第九章《统计》的第一节《随机抽样》。以下是本节的课时安排： 9.1随机抽样 课时内容 9.1.1简单随机抽样 9.1.2分层抽样 9.1.3获取数据的途径 所在位置 教材第173页 教材第181页 教材第186页 新教材内容分析 本节内容是统计的初步内容——简单随机抽样，是其他抽样方法的基础，也是估计总体结果的前提，同时也是初中频率知识的延伸。 本节内容是在简单随机抽样的基础上学习另外一种抽样方法——分层随机抽样，是比简单随机抽样更加具有代表性的一种抽样方法，也是将简单随机抽样进行的拓展延伸。 统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象，因此如何收集数据，是统计学研究的重要内容。在实践中，获取数据的途径多种多样，像统计报表和年鉴、社会调查、普查和抽样、互联网、试验设计等等都是常见的。 核心素养培养 通过对简单随机抽样的概念和应用的学习，培养学生数学数据分析素养. 通过对分层随机抽样的学习，培养学生数学抽象素养；通过对分层随机抽样的应用，培养学生数据分析素养. 通过对获取数据的途径的学习，培养学生数据分析的素养；在获取数据的过程中，培养学生数学建模的核心素养. 教学主线 抽样方法的选择 前面学习了简单随机抽样，本节分层抽样是对上一节的继续，主要让学生理解分层随机抽样的概念，了解分层随机抽样的特点、适用范围和必要性;掌握各层样本量比例分配的方法，会用分层抽样得到的样本均值估计总体均值。 1.理解分层随机抽样的概念,培养数学抽象的核心素养； 2.掌握用分层随机抽样从总体中抽取样本，培养数据分析的核心素养。 1.重点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本。 2.难点：恰当的选择两种抽样方法解决现实生活中的抽样问题 （一）新知导入 某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小. 【问题】　1.上述问题中总体有什么特征？ 2.采用抽签法合适吗？若不合适，应该用什么方法抽取样本？ 提示　1.该总体中，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质等方面存在着明显的差异. 2.不合适，若用抽签法，抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性.应该用分层随机抽样抽取样本. （二）分层抽样 分层随机抽样总体是由差异明显的各层组成的 (1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 2.样本平均数的计算公式 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数＝＋＝＋ . 【探究1】分层随机抽样的总体具有什么特性？ 【提示】分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体． 【探究2】简单随机抽样和分层随机抽样有什么区别和联系？ 【提示】区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样则首先将总体分成几层，在各层中按比例分配抽取样本． 联系：(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等； (2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样． 【探究3】　在分层随机抽样中，N为总样本量，n为样本量，如何确定各层的个体数？ 【提示】　每层抽取的个体的个数为ni＝Ni×，其中Ni为第i(i＝1，2，…，k)层的个体数，为抽样比. 【探究4】　在分层随机抽样中，总体的个体数、样本量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？ 【提示】　设总体的个体数为N，样本量为n，第i(i＝1，2，…，k)层的个体数为Ni，各层抽取的样本量为ni，则＝，这四者中，已知其中三个可以求出另外一个. 【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1.在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体的个体数的大小.(×) 2.分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本量较少，这是不公平的.(×) 3.从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽样.(×) 【做一做】某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是(　　) A.简单随机抽样 B.抽签法 C.随机数法 D.分层随机抽样 解析：从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样. 答案：D （三）典型例题 1.分层抽样的理解 例1.　(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适(　　) A．抽签法法　　　　　　 B．随机数法 C．简单随机抽样法 D．分层随机抽样法 (2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　) A．每层等可能抽样 B．每层可以不等可能抽样 C．所有层按同一抽样比等可能抽样 D．所有层抽取的个体数量相同 解析：(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样法． (2) 保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取． 答案：(1)D　(2)C　 【类题通法】1．使用分层随机抽样的前提 分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小． 2．使用分层随机抽样应遵循的原则 (1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则； (2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比． 【巩固练习1】下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　) A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本 C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间 D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 解析：A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样． 答案：B 2.分层抽样的应用 例2.某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程. 解：抽样过程如下： 第一步，确定抽样比，样本量与总体的个体数的比为＝. 第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)； 从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人). 第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人. 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本. 【类题通法】分层随机抽样的步骤 【巩固练习2】一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程. 解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层随机抽样的方法. 具体过程如下： 第一步，将3万人分为5层，一个乡镇为一层. 第二步，按照抽样比求得各乡镇应抽取的人数分别为60，40，100，40，60. 第三步，采用简单随机抽样的方法，按照各层抽取的人数抽取各乡镇的样本. 第四步，将300人合到一起，即得到一个样本. 3.分层抽样中的计算问题 例3.(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　) A．101　　　B．808　　　C．1 212　　　D．2 012 (2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取 个个体． (3)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为 ． 解析：(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人， 所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝， 所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808(人)． (2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×＝20(个)个体． (3)＝×3＋×8＝6. 答案：(1)B　(2)20　(3)6 【类题通法】(1)进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系 ①＝； ②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比. (2)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为： ＝＋＝＋. 【巩固练习3】甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　) A.30人，30人，30人 B.30人，45人，15人 C.20人，30人，40人 D.30人，50人，10人 解析：先求抽样比＝＝，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30(人)，乙校抽取5 400×＝45(人)，丙校抽取1 800×＝15(人)，故选B. 答案：B （四）操作演练 素养提升 1.某学校为了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　) A.抽签法 B.简单随机抽样 C.分层随机抽样 D.随机数法 2.某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵.为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(　　) A.30 B.25 C.20 D.15 3.某高中高一年级、高二年级、高三年级的学生人数分别是1500、2000、2500人，现用分层抽样方法在全校抽取一个容量为120人的样本，则高二年级应该抽_______人． 4.某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生. 答案：1.C 2.C 3.40 4.40 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 （五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结： 2.学生反思： （1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 完成教材：第182页 练习 第1，2,3,4题 第189页 习题9.1 第5,7题 学科网（北京）股份有限公司