8.4.1平面（PPT）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册).pptx

第八章 立体几何初步,8.4.1 平面,山东沂水县第四中学,教材分析,本小节内容选自普通高中数学必修第二册人教A版（2019）第八章立体几何初步的第四节空间点、直线、平面之间的位置关系。以下是本节的课时安排：,学习目标,1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系的语言转化，培养数学抽象的核心素养；2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实，培养逻辑推理的核心素养；3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系，提升直观想象的核心素养。,重点、难点,1.重点：能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。2.难点：三个基本事实的掌握与运用。,（一）新知导入,宁静的湖面、海面，生活中的课桌面、黑板面，一望无垠的草原给你什么样的感觉？【问题】(1)生活中的平面有大小之分吗？(2)几何中的“平面”是怎样的？,【提示】(1)有.(2)从物体中抽象出来的，绝对平、无大小、厚度之分、无限延展的.,（二）平面,【探究1】在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象而来的，那么现在的平面又是怎么来的呢？有什么特点呢？,知识点一 平面,(1)平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的平面是向四周 的,(2)平面的画法我们常用矩形的直观图，即 表示平面当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向,(3)平面的表示方法我们常用希腊字母，等表示平面，如平面、平面、平面等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称如图中的平面，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD,无限延展,平行四边形,（二）平面,【思考1】几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？,【提示】没有.平行四边形.,【思考2】一个平面把空间分成了几部分？,【提示】二部分.,知识点二 点、线、面之间的关系及符号表示,A是点，l，m是直线，是平面,（二）平面,【探究2】在日常生活中，我们经常看到这样一个场景：自行车用一个脚架和两个车轮就可以站稳，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机，这是一种什么原理呢？,提示这实际上就是我们平常说的三角形的稳定性，其原理就是三点可以确定一个平面,基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。图形：符号：A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C,1.过两个点可作无数个平面；过三个共线的点可作无数个平面；2.过不共线的四个点，有可能作不出平面。,（二）平面,【探究2】直线l与平面如果只有一个公共点P，那么直线在平面内吗？如果直线与平面有两个公共点，那么直线在平面内吗？,提示若一个公共点，直线不一定在平面内，若有两个公共点，则直线一定在平面内,基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。图形：符号：Al，Bl，且A，Bl,直线是无限延伸的，所以平面是无限延展的；直线是绝对的直，所以平面是绝对的平。,（二）平面,【探究3】把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗？,提示由于平面是无限延展的，所以不可能只有一个公共点，它们应该有一条公共直线,基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。图形：符号：P，且Pl，且Pl,【思考1】基本事实1有什么作用？【提示】确定平面的依据；判定点线共面.【思考2】基本事实2有什么作用？【提示】确定直线在平面内的依据；判定点在平面内.【思考3】基本事实3有什么作用？【提示】判定两平面相交的依据；判定点在直线上.,（二）平面,三个推论：,一条直线,外一点,相交,平行,【辩一辩】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)平面就是平行四边形.()(2)若Aa,a,则A.()(3)经过三点有且只有一个平面.()(4)两个平面的交线可能是一条线段.()答案:(1)(2)(3)(4),（三）典型例题,1.立体几何三种语言的相互转化,例1.用符号表示下列语句，并画出图形(1)平面与相交于直线l，直线a与，分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面内，直线a与平面交于点C，点C不在直线AB上,解析：(1)用符号表示：l，aA，aB，如图,(2)用符号表示：A，B，aC，CAB，如图,【类题通法】三种语言的转换方法：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别,（三）典型例题,【巩固练习1】（1）如图所示，用符号语言可表述为()A.m，n，mnAB.m，n，mnAC.m，n，Am，AnD.m，n，Am，An,（2）用符号语言表示下列语句，并画出图形：三个平面，相交于一点P，且平面与平面相交于PA，平面与平面相交于PB，平面与平面相交于PC；平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.,解析：符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示：如图.符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC，图形表示：如图.,（三）典型例题,2.点、线共面问题,例2.已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.,证明：法一(纳入法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.又Bl3，Cl3，l3.直线l1，l2，l3在同一平面内.,法二(重合法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，l2，l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内.平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.,（三）典型例题,【巩固练习1】如图，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求证：PQ.,证明：PQa，PQ 与 a 确定一个平面.直线a，点 P.Pb，b，P.又a，与重合PQ.,【类题通法】在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.,（三）典型例题,3.三线共点问题,例3.如图，已知平面，且l.设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求证：AB，CD，l共点(相交于一点).,证明：因为梯形ABCD中，ADBC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.所以AB，CD必定相交于一点.设ABCDM.又因为AB，CD，所以M，M.所以M.又因为l，所以Ml.即AB，CD，l共点(相交于一点).,（三）典型例题,【类题通法】证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点；(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点,【巩固练习3】如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点.求证：FE，HG，DC三线共点.,证明：如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1EB，且HC1EB，四边形HC1BE是平行四边形，HEC1B.又C1GGC，CFBF，GFC1B，且GFC1B.GFHE，且GFHE，HG与EF相交.设交点为K，KHG，HG平面D1C1CD，K平面D1C1CD.KEF，EF平面ABCD，K平面ABCD，平面D1C1CD平面ABCDDC，KDC，EF，HG，DC三线共点.,（三）典型例题,4.三点共线问题,例4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.,证明：如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B平面A1BCD1，D1平面A1BCD1，BD1平面A1BCD1.同理，BD1平面ABC1D1，平面ABC1D1平面A1BCD1BD1.A1C平面ABC1D1Q，Q平面ABC1D1.又A1C平面A1BCD1，Q平面A1BCD1.Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即QBD1，B，Q，D1三点共线.,（三）典型例题,【类题通法】证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上,【巩固练习4】如图所示，在空间四边形各边AD、AB、BC、CD上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于一点P，求证：P、B、D在一条直线上,证明：若EF、GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面，又因为EF平面ABD，GH平面CBD，平面ABD平面CBDBD，所以P平面ABD，且P平面CBD，由基本事实3可得PBD.,（四）操作演练 素养提升,1.下列有关平面的说法正确的是()A.平行四边形是一个平面 B.任何一个平面图形都是一个平面C.平静的太平洋面就是一个平面 D.圆和平行四边形都可以表示平面2.下列命题中正确的是()A.空间三点可以确定一个平面 B.三角形一定是平面图形C.若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合D.四条边都相等的四边形是平面图形3.已知，为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A.Aa，A，Ba，Ba B.M，M，N，NMNC.A，AA D.A，B，M，A，B，M，且A，B，M不共线，重合4.给出以下命题：和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确的个数是_.,答案：1.D 2.B 3.C 4.0,课堂小结,知识总结,学生反思,（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？,作业布置,完成教材 第128页 练习 第1，2,3,4题 第131 页 习题8.4 第1,2,3，6,7，8题,山东沂水县第四中学,谢 谢,高中数学 人教A版（2019）必修第一册,