8、微专题：对教材例题“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的理解与拓展-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册.docx

用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化 【学生版】 微专题：对教材例题“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的理解与拓展 而数学教材是教学的重要资源，数学教材中的每一个例习题都是经过“千锤百炼”的，有很高的教育价值。从近年来的数学高考试题看，多数题目可在现行课本中找到原型，或是课本例习题的变式题，或是源于课本并适度拓展的引伸题。 本文，欲以数学教材中的例（习）题为例，通过理解性的证明，依据推导方法与过程进行拓展；然后，寻找、挖掘与其它知识的交汇点，不断深化。 一、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的理解 例1、若△不是直角三角形，求证：； 提示：本题的证明视角1：可以考虑“化切为弦”；视角2：结合题设△内角关系与待证式的结构与两角和差的正切公式进行比较； 证明：方法1： 方法2： 【说明】本题（沪教版高中数学必修第二册，第30页 例8；苏教版高中数学必修4，第116页 例4；人教B版上的习题）；主要依据题设中“角之间的等量关系”，结合两角和差公式进行推导论证；但是，结论非常具有特色“三数和”等于“三数积”；所以，本题是“课本例习题”拓展、深化的极佳素材。 二、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的拓展 借鉴以上的方法2：由， 由此，得命题（*）：当、、都不等于时， 等式成立的充要条件是：； 教材是面向全体高中生又受到教学课时数与教材结构体系的限制，例习题往往是特殊情况或典型示例；稍加推广、拓展或依据充要条件“交换：条件与结论”；往往就成了“源于教材，又高于教材”的“鲜活”与综合的高考试题。 三、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的深化 现不妨以此命题（*）为基础，通过例析与三角、函数、向量等知识的交汇与整合的试题，体验该命题的深化与相关试题的解题策略。 例2、在锐角△中，求证：。 【说明】本题主要考查模仿例1，在“保证：正切三角比有意义的前提下”，利用三角形内角和的“等量关系”与“两角和差正切公式”推导得到；同法，还可以可得出以下结论： （1）； （2）； 例3、在△中，若，试判断△的形状； 例4、在锐角三角形中，若，则的最小值是 【说明】本题（2016年江苏卷数学高考试题 第14题）说明消元与降次是高中数学三角变换中的主旋律， 利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口 例5、在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则的最大值为_________ 【教师版版】 微专题：对教材例题“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的理解与拓展 而数学教材是教学的重要资源，数学教材中的每一个例习题都是经过“千锤百炼”的，有很高的教育价值。从近年来的数学高考试题看，多数题目可在现行课本中找到原型，或是课本例习题的变式题，或是源于课本并适度拓展的引伸题。 本文，欲以数学教材中的例（习）题为例，通过理解性的证明，依据推导方法与过程进行拓展；然后，寻找、挖掘与其它知识的交汇点，不断深化。 一、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的理解 例1、若△不是直角三角形，求证：； 提示：本题的证明视角1：可以考虑“化切为弦”；视角2：结合题设△内角关系与待证式的结构与两角和差的正切公式进行比较； 证明：方法1：在不是直角三角形的△中，有，则， ，； 左边 =右边， 所以，； 方法2：在不是直角三角形的△中，有，则，且、、 都不等于，所以，有，即， 即， 所以，成立； 【说明】本题（沪教版高中数学必修第二册，第30页 例8；苏教版高中数学必修4，第116页 例4；人教B版上的习题）；主要依据题设中“角之间的等量关系”，结合两角和差公式进行推导论证；但是，结论非常具有特色“三数和”等于“三数积”；所以，本题是“课本例习题”拓展、深化的极佳素材。 二、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的拓展 借鉴以上的方法2：由， （当、、都不等于时） （其中） （其中）； 由此，得命题（*）：当、、都不等于时， 等式成立的充要条件是：； 教材是面向全体高中生又受到教学课时数与教材结构体系的限制，例习题往往是特殊情况或典型示例；稍加推广、拓展或依据充要条件“交换：条件与结论”；往往就成了“源于教材，又高于教材”的“鲜活”与综合的高考试题。 三、对“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”的深化 现不妨以此命题（*）为基础，通过例析与三角、函数、向量等知识的交汇与整合的试题，体验该命题的深化与相关试题的解题策略。 例2、在锐角△中，求证：。 提示：注意△中，内角和，并模仿“例1”的证明方法； 解析：在△中，内角和，则有， 左边 右边，所以原式成立； 【说明】本题主要考查模仿例1，在“保证：正切三角比有意义的前提下”，利用三角形内角和的“等量关系”与“两角和差正切公式”推导得到；同法，还可以可得出以下结论： （1）； （2）； 例3、在△中，若，试判断△的形状； 提示：注意结合命题（*）实现转化； 解析：由已知、、都不等于，且可以推得：， 再由已知，经转化，得， 若三角形有一个为钝角，必有一个值为负值，， 若三角形有一个为直角，则无意义， 所以，由推得三个角都为锐角，则△为锐角三角形； 【说明】本题主要是利用命题（*）的推导思路或结论进行转化，然后结合解三角形的方法解之。 例4、在锐角三角形中，若，则的最小值是 提示：注意由题设并结合命题（*）实现转化，与最值进行交汇； 解析：【答案】8；由， 又利用“例1” ； 两者结合，得 即，其中，等号当且仅当时， 即，且时成立； 【说明】本题（2016年江苏卷数学高考试题 第14题）说明消元与降次是高中数学三角变换中的主旋律， 利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口 与斜三角形中恒有是解决本题“最值问题”的“切入点”。 例5、在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则的最大值为_________ 提示：注意由已知，应用两角和的正弦公式和诱导公式得，结合正弦定理可求得，从而可得，利用两角和的正切公式与基本不等式可得的最小值，从而得题设结论； 解析：【答案】； 由得， 所以，所以， 所以，，即， 则， 再由锐角三角形，则 与“例1” ， 得， 所以，当且仅当时等号成立， 解得，所以， 故答案为：， 【说明】本题考查两角和的正弦公式、正切公式，考查诱导公式，正弦定理．三角函数问题中对角的认识尤其重要，观察已知角的未知角的关系，确定选用公式，才能寻找到正确的解题思路；其中斜三角形中恒有还是是解决本题“最值问题”的“切入点”。 第7页