6.3.1正弦定理-同步配套分层练习-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册.doc

【沪教版2020】必修第二册《第 6 章 三角》【同步配套分层练习】 【学生版】 6.3.1 正弦定理 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示） 在判断下列命题时，不妨约定，在△ABC中，角A、B、C，对应的边依次记作a、b、c； ①在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B成立；（ ） ②在△ABC中，等式sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c成立；（ ） ③在△ABC中，“A>B”的充要条件是“sin A>sin B”； （ ） ④在△ABC中，等式＝.成立；（ ） ⑤在△ABC中，＝＝，但无法确定具体值（ ） 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】； 2、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知∠A＝60°，a＝，b＝1，则c等于(　　) A．1 B．2 C. －1 D. 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】 3、在△ABC中，若a＝3，cos A＝，则△ABC外接圆的半径为(　　) A．6 B．2 C．3 D. 4、在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则b的值为 6、在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B＝ 7、根据下列条件，判断三角形解的个数 （1）在△ABC中，若A>B，一定有sin A>sin B吗？反证若sin A>sin B，是否也一定有A>B? （2）已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况以列表方式写出； A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 （3）已知一三角形中a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形； 8、在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状； 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10、在中，角所对的边分别为，若，，，则的面积= 11、探究：正弦定理的几何解释: （1）如图所示，在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径2R， 故有＝＝＝2R，这一关系对锐角三角形也成立吗？ （2）如图所示，钝角三角形ABC中，A为钝角，圆O是它的外接圆， 半径为R，等式＝＝＝2R还成立吗？ 12、在△ABC中，已知＝，且cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C. （1）试确定△ABC的形状； （2）求的取值范围． 【教师版】 6.3.1 正弦定理 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示） 在判断下列命题时，不妨约定，在△ABC中，角A、B、C，对应的边依次记作a、b、c； ①在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B成立；（ ） ②在△ABC中，等式sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c成立；（ ） ③在△ABC中，“A>B”的充要条件是“sin A>sin B”； （ ） ④在△ABC中，等式＝.成立；（ ） ⑤在△ABC中，＝＝，但无法确定具体值（ ） 【提示】注意：对正弦定理的特征的理解，以及与比例关系、性质的关联； 【答案】①√；②√；③√；④√；⑤×； 【解析】对于①，由于在△ABC中，sinA＝sinB，有a＝b，则A＝B，所以，①是真命题； 对于②由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c正确，所以，②是真命题； 对于③，由A>B，推得a>b，又因为，＝=2R，所以，sin A>sinB； 若sin A>sin B，则a>b，即A>B； 故A>B⇔sin A>sinB，所以，③是真命题； 对于④，由正弦定理与比例（或合比定理）推得，等式成立；，所以，④是真命题； 对于⑤，由正弦定理扩充定理，所以，⑤是假命题； 【说明】本题主要考查了有关三角形的边、角的隐含条件，正弦定理与比例的运算性质； 2、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知∠A＝60°，a＝，b＝1，则c等于(　　) A．1 B．2 C. －1 D. 【提示】注意：题设“一边一对角”∠A＝60°，a＝的特征； 【答案】B； 【解析】由正弦定理＝，可得＝，sin B＝，故∠B＝30°或150°； 由a>b，得∠A>∠B，所以，∠B＝30°，故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2； 【说明】本题考查了正弦定理，但注意已知正弦求角在三角形中涉及“一解还是二解”，不妨结合“大边对大角”或结合图形确定； 3、在△ABC中，若a＝3，cos A＝，则△ABC外接圆的半径为(　　) A．6 B．2 C．3 D. 【提示】注意：题设“一边一对角”的特征； 【答案】D； 【解析】由cos A＝，所以，sin A＝，由＝2R得R＝； 【说明】本题主要考查了正弦定理的扩充定理与解读了正弦定理的“本质”； 4、在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【提示】注意：理解正弦定理的结构特征； 【答案】B； 【解析】由正弦定理知：＝＝，所以，tan A＝tan B＝tan C，则A＝B＝C， 故三角形为等边三角形； 【说明】本题考查了正弦定理的结构特征；并与同角商数关系与已知三角比求角进行了交汇； 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则b的值为 【提示】注意：题设“a＝4，A＝45°”一边一对角的特征； 【答案】2； 【解析】由正弦定理＝，得＝，所以b＝2； 【说明】本题考查了正弦定理；正弦定理一般应用在：1、已知两角和任一边，求其他两边和一角；2、已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角；3、判断三角形的形状； 6、在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B＝ 【提示】注意：一边一对角的特征 【答案】45°； 【解析】由正弦定理＝，得sin B＝＝＝； 因为，a>b，所以，A>B，则B＝45°； 【说明】本题考查了正弦定理，并与三角形中的边、角性质进行了交汇；同时，涉及已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况；注意数形结合或利用平面几何性质进行判别； 一般规律：已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值； 7、根据下列条件，判断三角形解的个数 （1）在△ABC中，若A>B，一定有sin A>sin B吗？反证若sin A>sin B，是否也一定有A>B? （2）已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况以列表方式写出； A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 （3）已知一三角形中a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形； 【提示】注意：正弦定理的特征与应用； 【解析】（1）由A>B，得a>b，所以，2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B， 由sin A>sin B，得2Rsin A>2Rsin B，即a>b，所以，A>B； （2）已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况以列表方式写出； A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 （3）由正弦定理得，sin B＝＝＝，因b>a，故B＝60°或120°. 当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4； 当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2. 所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2； 【说明】由本题的解答，得出已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值； 8、在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状； 【提示】注意：利用正弦定理与三角变换公式，进行“边”、“角”互化； 【答案】等腰三角形； 【解析】方法1、化角为边； 因为，acos＝bcos，所以，asin A＝bsinB．由正弦定理可得，a·＝b·， 所以，a2＝b2，则a＝b，所以，△ABC为等腰三角形； 方法2、化边为角； 因为，acos＝bcos，所以，asin A＝bsinB； 由正弦定理可得，2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，所以，A＝B；（A＋B＝π不合题意舍去）； 故△ABC为等腰三角形； 【说明】本题考查了利用正弦定理判别三角形形状；一般利用正弦定理判断三角形的形状有两条途径： 1、化角为边，将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状， 利用的公式为sin A＝，sin B＝，sin C＝； 2、化边为角，将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状，利用的公式为a＝2Rsin A，b＝2Rsin B；c＝2RsinC； 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】注意：正弦定理与三角变换“升、降幂公式”的交汇 【答案】C； 【解析】因为在△ABC中，a＞b⇔sin A＞sin B⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B ⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos 2A＜cos 2B； 所以“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的充要条件； 【说明】本题主要考查了利用正弦定理实现边、角的互化；然后，利用两倍角公式及其变形换进行判断； 10、在中，角所对的边分别为，若，，，则的面积= 【提示】注意：结合题设“”构建与正弦定理的沟通； 【答案】； 【解析】因为，由正弦定理化角为边可得：， 所以的面积，故答案为：； 【说明】本题考查了先根据正弦定理求得的值，再由三角形面积公式即可求解； 11、探究：正弦定理的几何解释: （1）如图所示，在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径2R， 故有＝＝＝2R，这一关系对锐角三角形也成立吗？ （2）如图所示，钝角三角形ABC中，A为钝角，圆O是它的外接圆， 半径为R，等式＝＝＝2R还成立吗？ 【提示】注意：结合平面几何中圆的几何性质； 【解析】（1）如图，因为△ABC为锐角三角形，连接BO交圆O于D，连接CD. 因为∠A＝∠D，则在△BCD中，＝＝2R. 同理，＝＝2R， 所以＝＝＝2R成立； （2）如图，当△ABC为钝角三角形时，连接BO交圆O于D，连接CD， ∠A＝180°－∠D， 所以＝＝＝2R. 同理，＝＝2R， 所以＝＝＝2R仍成立； 【说明】综上所述，对于任意的△ABC，＝＝＝2R恒成立； 1、正弦定理的表示形式：＝＝＝2R，或a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k>0)． 2、正弦定理的应用范围：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角；（3）利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决； 12、在△ABC中，已知＝，且cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C. （1）试确定△ABC的形状； （2）求的取值范围． 【提示】注意：结合题设“＝”与正弦定理进行边、角互化；“cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C.”通过和差化积改变角的形式； 【答案】（1）直角三角形；（2）(1， )； 【解析】（1）在△ABC中，设其外接圆半径为R， 根据正弦定理得，sin A＝，sin B＝，sin C＝， 代入＝，得＝，所以b2－a2＝ab.① 因为cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C，所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C，所以sin Asin B＝sin2C. 由正弦定理，得·＝，所以ab＝c2.② 把②代入①得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2， 所以△ABC是直角三角形； （2）由（1）知B＝，所以A＋C＝，所以C＝－A， 所以sinC＝sin＝cosA； 根据正弦定理，得＝＝sin A＋cos A＝sin， 因为ac<ab＝c2，所以a<c， 所以0＜A＜，所以＜A＋＜，所以＜sin<1，所以1＜sin<， 即的取值范围是(1，)； 【说明】本题综合考查了正弦定理、和差化积公式、诱导公式等三角变换；注意灵活进行边、角互化，以及根据角的范围结合单位圆数形结合地得出三角比的取值范围问题； 第10页