2023学年高考数学一轮复习第6章数列第4节数列求和课时跟踪检测文新人教A版.doc

第四节　数列求和 A级·基础过关|固根基| 1.已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3，则其前20项和为(　　) A．380－ B．400－ C．420－ D．440－ 解析：选C　令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3×＝2×－3×＝420－. 2．(2023年届辽宁本溪三次联考)已知数列{an}的通项公式是an＝n2sin π，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝(　　) A. B. C. D. 解析：选B　由题意得a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝－12＋22－32＋42＋…－2 0172＋2 0182＝1＋2＋3＋4＋…＋2 017＋2 018＝＝，故选B. 3．(2023年届江西师大附中调研)定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋＋…＋＝(　　) A. B. C. D. 解析：选C　由定义可知a1＋a2＋…＋an＝5n2，所以当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝5(n－1)2，两式相减得an＝10n－5(n≥2)．当n＝1时，a1＝5也符合上式，所以an＝10n－5，则bn＝2n－1.又＝－，所以＋＋…＋＝－＋－…－＋－＝－＝. 4．(2023年届河北“五个一名校联盟”)已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选A　因为an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，所以a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2 018＝336×0＋a2 017＋a2 018＝a1＋a2＝3.故选A. 5．(2023年届湖南湘潭模拟)已知Tn为数列的前n项和，若m＞T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为(　　) A．1 026 B．1 025 C．1 024 D．1 023 解析：选C　因为＝1＋， 所以Tn＝n＋1－， 所以T10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－. 又m＞T10＋1 013， 所以整数m的最小值为1 024.故选C. 6．在等比数列{an}中，若a1＝27，a9＝，q>0，Sn是其前n项和，则an＝________；S6＝________． 解析：由a1＝27，a9＝知，＝27·q8，又由q>0，解得q＝，所以an＝a1·qn－1＝27×＝，所以S6＝＝. 答案：　 7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则an＝________；＝________． 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意， 即解得 所以an＝n，Sn＝，所以＝＝2， 因此＝21－＋－＋…＋－＝. 答案：n　 8．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则S2n－1＝________． 解析：因为a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1，2，3，…)，所以S2n－1＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2n－2＋a2n－1)＝1＋＋＋…＋＝. 答案： 9．(2023年届辽宁沈阳模拟)已知在等差数列{an}中，a1＝－11，公差d≠0，且a2，a5，a6成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)因为a2，a5，a6成等比数列， 所以a＝a2a6，即(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)， 所以2a1d＋11d2＝0，又d≠0，a1＝－11，所以d＝2， 所以an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13. (2)设数列{an}的前n项和为Sn， 则Sn＝＝n2－12n， 因为an＝2n－13， 所以当n≤6时，an<0；当n≥7时，an>0. 所以当n≤6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－an＝－Sn＝12n－n2； 当n≥7时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＋|a7|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－a6＋a7＋…＋an＝－S6＋Sn－S6＝Sn－2S6＝n2－12n＋72. 综上，Tn＝ 10．已知等差数列{an}中，a1＝－2，公差d＝3；数列{bn}中，Sn为其前n项和，满足2nSn＋1＝2n(n∈N*)． (1)记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn； (2)求数列{bn}的通项公式． 解：(1)因为a1＝－2，d＝3，{an}为等差数列， 所以an＝a1＋(n－1)×d＝－2＋3(n－1)＝3n－5， 则cn＝＝＝， 所以Tn＝＋＋…＋ ＝＝－. (2)因为2nSn＋1＝2n， 所以Sn＝1－，Sn－1＝1－(n≥2)， 则bn＝Sn－Sn－1＝－＝－×＝×＝(n≥2)． 当n＝1时，b1＝S1＝1－＝满足上式， 所以数列{bn}的通项公式为bn＝. B级·素养提升|练能力| 11.数列{an}的通项公式an＝n，其前n项和为Sn，则S40为(　　) A．10 B．15 C．20 D．25 解析：选C　由题意得，an＝n＝ncos ， 则a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，…， 于是a2n－1＝0，a2n＝(－1)n·2n， 则S40＝(a1＋a3＋…＋a39)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a40)＝－2＋4－…＋40＝20. 12．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝________． 解析：由－＝0，可得an＋1＝an，故{an}是公比为的等比数列，故是公比为的等比数列，则{bn}是公比为2的等比数列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)·25＝32. 答案：32 13．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋2n(n∈N*)，且a1＝1. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解：(1)证明：由an＋1＝2an＋2n(n∈N*)的等式两边同时除以2n＋1，得＝＋，即－＝， 又＝， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)可知，＝＋(n－1)×＝， 所以an＝n·2n－1， 所以数列{an}的前n项和Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，① 2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，② 由②－①得， Sn＝－(20＋21＋22＋…＋2n－1)＋n·2n＝－＋n·2n＝1＋(n－1)2n. 14．(2023年届洛阳市第一次统考)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn为数列的前n项和，若λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值． 解：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，由已知得， 解得或(舍去)， 所以an＝n＋1. (2)由(1)知＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋ ＝－＝. 又λTn≤an＋1恒成立， 所以λ≤＝2＋8， 而2＋8≥16，当且仅当n＝2时等号成立， 所以λ≤16，即实数λ的最大值为16. - 6 -