5.5.1 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-两角差的余弦公式-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）.docx

5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时 两角差的余弦公式 【学习目标】 学习目标 学科素养 1.会用两点间距离公式推导出两角差的余弦公式； 2.掌握两角差的余弦公式及其应用． 1、数学运算 2、数学抽象 【自主学习】 利用两点间距离公式推导公式 设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P(cos(α－β)，sin(α－β))． 连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而＝，所以AP＝A1P1. 根据两点间的距离公式，得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝ ， 化简得cos(α－β)＝ . 当α＝2kπ＋β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立． 两角差的余弦公式 1．公式：cos(α－β)＝ . 2．简记符号： 3．使用条件：α，β都是 ． 思考：两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？ 【小试牛刀】 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　　) (2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．（ ） (　　) (3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．（ ） (　　) (4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　　) 【经典例题】 题型一　两角差的余弦公式的正用和逆用 【跟踪训练】1 题型二　给值求值 [探究问题] 1． 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ 2． 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？ 【跟踪训练】2 题型三 给值求角 例3 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值． 【跟踪训练】3 已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． 【当堂达标】 1．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为(　　) A.　 B． C. D． 2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为(　　) A．－　　　B．－　　　C.　 D． 3．已知cos＝cos α，则tan α＝ . 4．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝ . 5．已知sin α＝－，sin β＝，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值． 【课堂小结】 1．给角求值或给值求值问题，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”． 注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧． 2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行： (1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值． 【参考答案】 【自主学习】 (cosα－cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2 cosαcosβ＋sinαsinβ cosαcosβ＋sinαsinβ C(α－β) 任意角 提示：公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正 【小试牛刀】 【经典例题】 例1 【跟踪训练】1 探究问题 例2 【跟踪训练】2 例3 【跟踪训练】3 【当堂达标】 1. 2. 3. 4. 5. 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！