5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时)-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册).pptx

,5.5 三角恒等变换,5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时),以公式()为基础，我们已经得到六个和(差)角公式，下面将以和(差)角公式为基础来推导倍角公式.,思考1：试利用公式()，()，()推导出 2，2，2的公式？,2=(+)=+=2；2=(+)=2 2；2=(+)=+1=2 1 2.,思考2：如果要求二倍角的余弦公式(2)仅含的正弦(余弦)，那么又可得到：,=.,证明：因为 2+2=1，所以 2=2 2=(1 2)2=1 2 2；2=2 2=2(1 2)=2 2 1.以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了的三角函数与2的三角函数之间的关系.,例5.已知 2=5 13，4 2，求 4，4，4的值.,解：由 4 2，得 2 2.又 2=5 13，所以 2=1(5 13)2=12 13.于是 4=2(2)=2 2 2=2 5 13(12 13)=120 169；4=2(2)=12 2 2=12(5 13)2=119 169;4=4 4=120 169 119 169=120 119.,例6.在中，=4 5，=2，求(2+2)的值.,解法1：在中，由=4 5，0，得=1 2=1(4 5)2=3 5，所以=3 5 5 4=3 4，2=2 1 2=2 3 4 1(3 4)2=24 7.又=2，所以 2=2 1 2=22 1(2)2=4 3.于是(2+2)=2+2 1 2 2=24 7 4 3 1 24 7(4 3)=44 117.,例6.在中，=4 5，=2，求(2+2)的值.,解法2：在中，由=4 5，0，得=1 2=1(4 5)2=3 5，所以=3 5 5 4=3 4.又=2，所以(+)=+1=3 4+2 1 3 4 2=11 2，所以(2+2)=2(+)=2(+)1 2(+)=2(11 2)1(11 2)2=44 117.,例1.化简求值：(1)4 2 4 2；(2)24 24 12；,解：(1)原式=(2 2+2 2)(2 2 2 2)=(2 2+2 2)=.(2)原式=1 2(2 24 24)12=1 2 12 12=1 4(2 12 12)=1 4 6=1 8.,例1.化简求值：(3)12 2 750；(4)150+13 2 150 2150.,解：(3)原式=(2750)=1500=(4360+60)=60=1 2.(4)原式=2 2 150+13 2 150 2150=1 2 150 2150=1(2150)=1 300=1(36060)=1 60=3 3.,变1.化简求值：(1)12 12；(2)2120 1 2 120；(3)1 10 3 10；(4)204080.,解：(1)原式=1 2 6=1 2 1 2=1 4.(2)原式=240=(180+60)=60=3.(3)原式=10 3 10 1010=2(1 2 10 3 2 10)1010=4(30103010)21010=4(3010)20=420 20=4.(4)原式=820204080 820=4404080 820=28080 820=160 820=(18020)820=20 820=1 8.,方法技巧：对于给角求值问题的两种类型及解题策略(1)直接正用、运用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数值相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.,例2.已知(3)=3(6)，则2=_.,答案：4 3.解：由于(3)=3(6)，1 2 3 2=3 3 2 3 2，整理得：3=2，=，则2=2 1 2=4 3.,变2.已知(4)=5 13，0 4，求 2(4+)的值.,解：(4)+(4+)=2，(4+)=(4)=5 13.又 2=(2 2)=2(4)=2(4)(4)，2(4+)=2(4)(4)(4+)=2(4+)=2 1 2(4+)=2 12 13=24 13.,方法技巧：解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明确化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通，巧妙地建立等量关系，从而求值.2=(2 2)=2(4)(4).类似的变换还有：2=(2+2)=2(4+)(4+)，2=(2 2)=2 2(4)1，2=(2+2)=12 2(4+)等.,例3.(1)化简：2 2(1+2)；(2)求证：34 2+4 3+4 2+4=4.,解：(1)原式=2 2(1+2 2)=2 2 2+2 2=2 2 2 2=.(2)证明：左边=34 2+2 4 21 3+4 2+2 4 21=(1 2 1+2)2=(2 2 2 2)2=(2)2=4=右边.34 2+4 3+4 2+4=4.,变3.求证：(1)2(+)2()=22；(2)1+1+1+1+=2.,证明：(1)左边=1+(2+2)2 1(22)2=(2+2)+(22)2=(2222+22+22)=22=右边，等式成立.(2)原式=2 2(2+2)2 2(2+2)+2 2(2+2)2 2(2+2)=2 2+2 2=1 2 2=2.,方法技巧：证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两边的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低、复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.,课堂小结：(1)理解记忆两倍角公式及其变形；(2)了解两倍角公式的推导过程.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P223的练习15题.,