5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式（学案）-2022-2023学年高一数学精品同步课堂（人教A版2019必修第一册）.docx

5.5.1 三角恒等变换 第1课时 两角差的余弦公式 【学习目标】 课程标准 学科素养 1.会用两点间距离公式推导出两角差的余弦公式； 2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用． 1.逻辑推理 2.数学运算 【自主学习】 推导：如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1、A1、P. 思考：P1、A1、P点的坐标如何表示？线段AP和A1P1有什么关系？　　　 两角差的余弦公式 名称 简单符号 公式 使用条件 两角差的余弦 C(α－β) 【小试牛刀】 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)cos (60°－30°)＝cos60°－cos30°.(　　) (2)对任意α，β∈R，cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．(　　) (3)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.(　　) (4)求cosα时，有时把角α看成角α＋β与角β的差．(　　) 2.cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 3.已知sinθ＝35，cosθ＝45，则cos (θ－π4)＝(　　) A．210　　　 B．7210 C．25　　　D．725 【经典例题】 题型一 　给角求值　　　　　　　　　　　　　　　　 点拨：利用公式C(α－β)求值的思路方法 1.求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值． 2.如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称，构造公式的结构形式然后逆用公式求值． 例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°. 【跟踪训练】1 求下列各式的值： (1) cos75°cos15°－sin75°sin195°；(2)cos7°-sin15°sin8°cos8°. 题型二 给值求值 点拨：给值求值问题的解题策略 1.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． 2.由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 例2 已知α∈(0，π2)，cos (α＋π4)＝1010，则cosα的值为________． 【跟踪训练】2 已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值． 题型三　给值求角 点拨：解给值求角问题的一般步骤 1.求角的某一个三角函数值． 2.确定角的范围． 3.根据角的范围写出所求的角． 例3 已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． 【跟踪训练】3 已知α，β均为锐角，且cosα＝255，cosβ＝1010，求α－β的值． 【当堂达标】 1.（ ） A． B． C． D． 2.已知锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 3.若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为(　　) A. B. C. D. 4.已知sin＝，α∈，则cosα的值为________． 5.化简：＝________. 6.已知，则__________． 7.已知cosα＝13，cos (α－β)＝33且0＜β＜α＜π2，求cosβ. 8.已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值． 【课堂小结】 1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧． 2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题， 求一个角的值，可分以下三步进行： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角所在的范围(找区间)； (3)确定角的值（确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定）. 【参考答案】 【自主学习】 P1(cosα，sinα)、A1(cosβ，sinβ)、P(cos(α－β)，sin(α－β)) AP＝A1P1 cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ α，β为任意角 【小试牛刀】 1. (1)×　(2)√　(3)√ (4)√ 2.B 解析：原式＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝. 3.B 解析：∵sinθ＝35，cosθ＝45， ∴cos (θ－π4)＝cosθcosπ4＋sinθsinπ4＝22cosθ＋22sinθ＝22×45+22×35＝7210. 【经典例题】 例1 解：解法一：原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45° ＝×＋×＝. 解法二：原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° ＝×＋×＝. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0. 【跟踪训练】1　解：(1)cos75°cos15°－sin75°sin195° ＝cos75°cos15°＋sin75°sin15° ＝cos (75°－15°)＝cos60°＝12. (2)原式＝cos15°-8°-sin15°sin8°cos8° ＝cos15°cos8°+sin15°sin8°-sin15°sin8°cos8° ＝cos15°cos8°cos8°＝cos15°＝cos (60°－45°)＝6+24. 例2 255 解析：因α∈(0，π2)，即π4＜α＋π4＜3π4，又cos (α＋π4)＝1010，则sin (α＋π4)＝1-cos2α+π4＝31010， 所以cosα＝cos [(α＋π4)－π4]＝cos (α＋π4)cosπ4＋sin (α＋π4)sinπ4＝22(1010+31010)＝255. 【跟踪训练】2 解：因为α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝， α＋β∈，β－∈， 所以cos(α＋β)＝，cos＝－， cos＝cos ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin ＝×＋×＝－. 例3 解：由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝. 由0<β<α<，得0<α－β<. 又因为cos(α－β)＝， 所以sin(α－β)＝＝ ＝. 由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝×＋×＝， 因为0<β<，所以β＝. 【跟踪训练】3 解：∵α，β均为锐角， ∴sinα＝55，sinβ＝31010， ∴cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ＝255×1010+55×31010＝22. 又sinα＜sinβ， ∴0<α<β<π2，∴－π2＜α－β＜0， 故α－β＝－π4. 【当堂达标】 1.B 解析：.故选：B. 2.A 解析：因为α，β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－， 所以sinα＝，sin(α＋β)＝，所以cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝.故选A. 3.C 解析：∵0<α<β<，∴－<α－β<0,0<2α<π. 由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝－. 由cos2α＝，得sin2α＝. ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β) ＝×＋×＝－. 又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝. 4. 解析：因为sin＝，α∈， 所以＋α∈，cos＝－. 所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝. 5. 解析：原式＝ ＝ ＝＝＝. 6. 解析：由， ，两式相加有，可得． 7.解：因为0＜β＜α＜π2，所以0＜α－β＜π2，因为cosα＝13，所以sinα＝1-cos2α＝223， 又cos(α－β)＝33，所以sin (α－β)＝1-cos2α-β＝63， 所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cosαcos (α－β)＋sinαsin (α－β)＝13×33+223×63＝539. 8.解：由α－β∈，且cos(α－β)＝－， 得sin(α－β)＝. 由α＋β∈，且cos(α＋β)＝， 得sin(α＋β)＝－. cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝×＋×＝－1. 因为α－β∈，α＋β∈， 所以2β∈.所以2β＝π.故β＝. 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司