5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）.pptx

,5.4 三角函数的图象和性质,5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质,上节课的学习中，我们学了正弦、余弦函数的图象.其中有五个点在函数图象中起着关键作用，请同学们回顾一下在正余弦函数中的“五点”.,思考1：类比以往对函数性质的研究，你认为应该研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？,根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大值(小)值等.另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的.,观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式sin(+2)=sin(Z)中得到反映.即自变量的值加上2的整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等.数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.,一般地，设函数()的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有+，且(+)=()，那么函数()就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期.,注：(1)周期函数的周期不止一个.例如2，4，6以及2，4，6等.都是正弦函数的周期.事实上，由sin(+2)=sin(Z)，我们可知：Z，0，常数2都是它的周期.(2)若函数()的周期是T，则T(Z，0)也是()的周期.,如果在周期函数()的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()的最小正周期.,根据上述的定义，我们有：正弦函数是周期函数，2(kZ且k0)都是它的的周期，最小正周期是2.,思考2：类比于正弦函数，试探究余弦函数的周期性.类似的，由cos(+2)=cos(Z)，可知，余弦函数也是周期函数.2，4，6以及2，4，6等都是余弦函数的周期.即Z，0，常数2都是它的周期，最小正周期是2.,注：(3)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量要加上的那个最小正数，这个正数是对而言的，如=2的最小正周期是，因为=2=(2+2)=2(+)，即是使函数值重复出现的自变量加上的最小正数，是针对而言的，而非2.(4)并不是所有的周期函数都有最小正周期，例如，常数函数()=，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期.,（课本）例2.求下列函数的周期：(1)=3,;(2)=2,;(3)=3(1 2 6),.,解：(1)，有3(+2)=3.由周期函数的定义可知，原函数的周期为2.(2)令=2，由得，且=的周期为2，即(+2)=，于是(2+2)=2，所以 2(+)=2,.由周期函数的定义可知，原函数的周期为.,（课本）例2.求下列函数的周期：(1)=3,;(2)=2,;(3)=2(1 2 6),.,解：(3)令=1 2 6，由得，且=2 的周期为2，即2(+2)=2，于是2(1 2 6+2)=2(1 2 6)，所以2 1 2(+4)6=2(1 2 6).由周期函数的定义可知，原函数的周期为4.,思考2：回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中的哪些量有关吗？函数的周期与的系数有关.仿照上述分析过程可得:函数()、()(其中，为常数，且0，0)的最小正周期为：=2,观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于轴对称.这个事实，也可由诱导公式()=,()=得到，所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.,思考3：观察下图，找出 的值随着的变化是如何变化的？,观察下图，可以看到：当由 2 增大到 2 时，曲线逐渐上升，的值由1增大到1；当由 2 增大到 3 2 时，曲线逐渐下降，的值由1减小到1.的值的变化情况如表所示：,这就是说，正弦函数=在区间,上单调递增，在区间,上单调递减.由正弦函数的周期性可得，正弦函数在每一个闭区间+,+()上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间+,+()上都单调递减，其值从减小到.,思考4：类比于正弦函数，观察余弦函数在一个周期区间(如,)上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表：,这就是说，正弦函数=,在区间,上单调递增，在区间,上单调递减.由正弦函数的周期性可得，正弦函数在每一个闭区间+,()上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间,+()上都单调递减，其值从减小到.,思考5：在前面函数的性质中，我们除了奇偶性、单调性外，还学习了函数的最值.请结合着前面对正余弦函数单调性的研究，找出正余弦函数的最值及其取得最值时对应的自变量的值.,正弦函数当且仅当=+()时取得最大值，当且仅当=+()时取得最小值；余弦函数当且仅当=()时取得最大值，当且仅当=+()时取得最小值.,（课本）例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值.(1)=+,;(2)=,.,解：(1)使函数=+,取得最大值的的集合，就是使函数=，取得最大值的的集合|=,；使函数=+,取得最小值的的集合，就是使函数=，取得最小值的的集合|=(+),.函数=+,的最大值是+=；最小值是+=.,(2)令=，使函数=，取得最大值的的集合，就是使=，取得最小值的的集合|=+,.由=+，得=+.所以，使函数=,取得最大值的的集合是|=+,.同理，使函数=,取得最小值的的集合是|=+,.函数=,的最大值是，最小值是.,（课本）例4.不通过求值，比较下列各组数的大小：(1)()与()；(2)()与().,解：(1)因为().(2)()=，()=.因为，即()().,（课本）例5.求函数=(+)，,的单调递增区间.,解：令=+，,，则,.因为=，,的单调增区间是,，且由+，得.所以，函数=(+)，,的单调递增区间是,.,【例1】（2023全国高一专题练习）()=|sin|+|cos|的最小正周期是（）A 2 BC2D3,【答案】A【解析】因为=sin+cos=|sin|+|cos|2=sin2+1，因为=sin2的最小正周期为，所以=sin2 的最小正周期为 2，所以 的最小正周期为 2 故选：A,题型一：正余弦函数的周期问题,【对点训练1】（2023陕西汉中高一期末）下列四个函数中，在区间(2,)上单调递增，且最小正周期为的是（）A=sinB=|cos|C=|sin|D=sin 2,【答案】B【解析】=sin的最小正周期是2，=sin 2 的最小正周期是=2 1 2=4，排除，BC两个函数的最小正周期是，(2,)时，=cos=cos单调递增，=sin=sin单调递减故选：B,题型一：正余弦函数的周期问题,【例2】（2023全国高一课时练习）已知函数()=sin(+)为偶函数，则的取值可以为（）A 2 BC 3 D0,【答案】A【解析】因函数()=sin(+)为偶函数，则=+2,Z，显然=1时，=2，即A满足，B，C，D都不满足故选：A,题型二：正余弦函数的奇偶问题,【对点训练2】（2023全国高一专题练习）若函数=2sin 2 3+是奇函数，则的值可以是（）A 5 6 B 2 C 2 3 D 2,【答案】C【解析】若函数=2sin 2 3+是奇函数，则 3+=,，得=3+,=1,=2 3 故选：C,题型二：正余弦函数的奇偶问题,【对点训练3】（2023全国高一专题练习）已知函数()=3+sin+2022（，为实数），且(2022)=1，则(2022)=（）A1B1C4045D4045,【答案】C【解析】设()=()+2022=3+sin+，0，则()=()3+sin()+=3 sin=()，是奇函数，(2022)=(2022)+2022=2023，所以(2022)=(2022)+2022=(2022)=2023，(2022)=4045故选：C,题型二：正余弦函数的奇偶问题,【例3】（2023湖南武冈市教育科学研究所高一期末）关于函数()=2sin 2 3 图象的对称性，下列说法正确的是（）A关于直线=3 对称B关于直线=6 对称C关于点 3,0 对称D关于点 6,0 对称,【答案】D【解析】对A，2 3 3=3 2+，故A错误；对B，2 6 3=0 2+，故B错误；对C，2 3 3=3，故C错误；对D，2 6 3=0=，此时=0，故D正确，故选：D,题型三：正余弦函数的对称问题,【对点训练4】（2023全国高一课时练习）函数=sin(2+4)的图象的一个对称轴方程是（）A=8 B=4 C=8 D=4,【答案】C【解析】对于函数=sin(2+4)，令2+4=2+,Z，解得=8+2,Z，故函数的对称轴方程为=8+2,Z，令=0，可知函数的一条对称轴为=8 故选：C,题型三：正余弦函数的对称问题,【对点训练5】（2023全国高一课时练习）已知函数=sin 2+6，0,3 若方程=2 3 的两个解为 1,2，则sin 1+2=（）A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2,【答案】B【解析】由题意可得，0,3，则2+6(6,5 6)，令2+6=2,=6，即函数=sin 2+6，0,3 关于直线=6 对称，则 在 0,6 上单调递增，在,上单调递减，所以 1+2=2 6=3，故sin 1+2=sin 3=3 2，故选：B,题型三：正余弦函数的对称问题,【对点训练6】（2023全国高一专题练习）已知函数()=sin(2+)的图象关于点 6,0 中心对称，则|的最小值为（）A 6 B 3 C 2 3 D 4 3,【答案】B【解析】因为函数()=sin(2+)的图象关于点 6,0 中心对称，所以sin 2 6+=0，则2 6+=,，即=3+,，故|的最小值为 3 故选：B,题型三：正余弦函数的对称问题,【例4】（2023内蒙古阿拉善左旗第一中学高一期末）函数=sin(2+3)的单调递减区间是（）A 12,+5 12,ZB2 12,2+5 12,Z C 6,+5 6,Z D2 6,2+5 6,Z,【答案】A【解析】函数=sin(2+3)=sin(2 3)，故求函数=sin(2 3)的单调递增区间即可，令 2+22 3 2+2,Z，解得 12,+5 12,Z故选：A,题型四：正余弦函数的单调问题,【对点训练7】（2023全国高一课时练习）函数=sin 6 2 在 0,上的增区间是（）A 2,B 4,C 3,5 6 D 6,【答案】C【解析】由题知=sin 2 6，又 0,，所以2 6 6,11 6，令 2 2 6 3 2，解得 3 5 6，所以函数=sin 6 2 在 0,上的增区间是 3,5 6 故选：C,题型四：正余弦函数的单调问题,【对点训练8】（2023全国高一课时练习）函数=cos 2 是（）A奇函数，在区间 0,2 上单调递增B奇函数，在区间 0,2 上单调递减C偶函数，在区间 0,2 上单调递增D偶函数，在区间 0,2 上单调递减,【答案】A【解析】因为函数()=cos 2=sin，是正弦函数，所以()是奇函数，且在区间 0,2 上单调递增故选：A,题型四：正余弦函数的单调问题,【例5】（2023上海高一期末）已知函数=sin 2+3 在区间 0,0 上单调递增，则实数的取值范围是（）A 0 12 B=+12,C 0 2 D 22+12,【答案】A【解析】令=2+3，因为0，故 3 2+3，因为 在 0,为增函数，故=sin在 3,2+3 上为增函数，故2+3 2 即0 12，故选：A,题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题,【对点训练9】（2023山东枣庄高一期末）已知0，函数()=sin+3 在 2,上单调递减，则的取值范围是（）A 1 3,7 6 B 1 3,5 6 C0,1 3 D0,3,【答案】A【解析】由 2+2+3 3 2+2，Z，得 6+2 7 6+2，Z，函数 的单调递减区间为 6+2,7 6+2，Z函数=sin+3 在 2,上单调递减，2,6+2,7 6+2，Z，6+2 2 7 6+2，Z，即 1 3+6 7 6+2，Z，解得 1 3 7 6，实数的取值范围是 1 3,7 6 故选：A,题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题,【对点训练10】（2023全国高一课时练习）设0，若函数()=2sin在 3,4 上单调递增，则的取值范围是_,【答案】(0,3 2【解析】根据正弦函数的单调性，可得：2+2 2+2（Z），所以：2+2 2+2，解得：2+2 3 2+2 4，整理可得：3 2 6 2+8，当=0有解，解得0 3 2 故答案为：(0,3 2,题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题,【例6】（2023河北鸡泽县第一中学高一阶段练习）比较sin1，sin2与sin3的大小关系为_,【答案】sin3sin1sin2【解析】因为sin2=sin(2)，sin3=sin(3)，因为0312 2，且函数=sin在 0,2 上单调递增，所以sin(3)sin1sin(2)，所以sin3sin1sin2；故答案为：sin3sin1sin2,题型六：比较大小,【对点训练11】（2023甘肃天水高一阶段练习）比较sin 18，cos 3，sin 10 的大小_,【答案】cos(3)sin(18)sin(10)【解析】因为 2 0，可得cos(3)sin(18)sin(10)故答案为：cos(3)sin(18)sin(10),题型六：比较大小,【对点训练12】（2023四川达州高一期末）三个实数sin100，cos100，ln3的大小关系是（）Asin100cos100ln3Bcos100ln3sin100Ccos100sin100ln3Dln3cos100sin100,【答案】C【解析】因为10 0=5 9，2 lne=1，所以cos100sin100ln3，故选：C,题型六：比较大小,【例7】（2023上海曹杨二中高一期末）函数=co s 2+2sin的最大值是_,【答案】2【解析】由已知得=1si n 2+2sin，令sin=(11)，则=1 2+2=1 2+2，当=1时，函数有最大值为2故答案为：2,题型七：正余弦函数的最值与值域问题,【对点训练13】（2023河南安阳高一阶段练习）已知函数=sin 2+6(0)的最大值为 3 2，最小值为 1 2（1）求ab的值；（2）求函数()=4sin 3 的最小值并求出对应x的集合,【解析】（1）因为=sin 2+6(0)的最大值为 3 2，最小值为 1 2，所以+=3 2=1 2，解得=1 2,=1，（2）由（1）得()=2sin 3，当sin 3=1时，()取得最小值2，此时 3=2+2,，得=5 6+2,，所以()取得最小值时对应x的集合为|=2+5 6,题型七：正余弦函数的最值与值域问题,【对点训练14】（2023全国高一专题练习）已知函数=3 sin+0,2 2 的图象关于直线=3 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为（1）求和的值；（2）当 0,2 时，求函数=()的最大值和最小值,【解析】（1）因为()的图象上相邻两个最高点的距离为，所以()的最小正周期=，从而=2=2又因为()的图象关于直线=3 对称，所以2 3+=+2，Z，又 2 2，所以=2 2 3=6 综上，=2，=6（2）由（1）知()=3 sin 2 6 当 0,2 时，可知 6 2 6 5 6 故当2 6=2，即=3 时，()max=3 当2 6=6，即=0时，()min=3 2,题型七：正余弦函数的最值与值域问题,【例8】（2023江西省万载中学高一期中）已知函数()=sin(6 2)1 2，()=2cos(2+6)2，（1）求函数()的单调递减区间；（2）求函数()的最大值、最小值及对应的x值的集合；（3）若对任意 1 6,3，存在 2 6,3，使得(1)=(2)，求实数m的取值范围,【解析】（1）2 2 6 22+2,，解不等式得：6,+3,，所以函数的单调递减区间为 6,+3,（2）2+6=2，即=12,时，max=，2+6=2+，即=+5 12,时，min=4；（3）1 6,3 时，2 6 2 1 2，3 2 1 1 2，2 6,3 时，2 2+6 6,5 6，(2)2 3,，要使得(1)=(2)，只需 1 2 2 3 3 2，1 2 3,1 2,题型八：正余弦函数的综合应用,【对点训练15】（2023新疆柯坪湖州国庆中学高一期末）已知函数()=sin(2+4)，（1）求 的最小正周期；（2）0,2,()=()有零点，求的范围,【解析】（1）由于()=sin(2+4)，故其最小正周期为 2 2=；（2）因为0,2,()=()有零点，故0,2,()=sin(2+4)=0有解，即=sin(2+4),0,2 有解，因为0,2,2+4 4,5 4，所以sin(2+4)2 2,1，故 2 2 1,题型八：正余弦函数的综合应用,课堂小结：(1)正、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性；(2)正、余弦函数的最值.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P207的练习15题.,