5.4.4 三角函数的图象与性质（综合拔高练）-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）.docx

第五章 三角函数 课时5.4.4 三角函数的图象与性质（综合拔高练） 考点1　同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=13,则sin β=　　　.  2.sin 750°=　　　　.   考点2　三角函数的图象及应用 3.函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[-π,π]的图象大致为 (　　) 4.函数y=2|x|sin 2x的图象可能是 (　　) 5.函数y=sin2x1-cosx的部分图象大致为 (　　) 考点3　三角函数的性质 6.下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. f(x)=|cos 2x| B. f(x)=|sin 2x| C. f(x)=cos|x| D. f(x)=sin|x| 7.关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论: ① f(x)是偶函数; ② f(x)在区间π2,π单调递增; ③ f(x)在[-π,π]有4个零点; ④ f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是 (　　) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 8.设函数f(x)=sinωx+π5(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论: ①f(x)在(0,2π)有且仅有3个最大值点; ②f(x)在(0,2π)有且仅有2个最小值点; ③f(x)在0,π10单调递增; ④ω的取值范围是125,2910. 其中所有正确结论的编号是 (　　) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ 9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2,x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在π18,5π36单调,则ω的最大值为 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.11 B.9 C.7 D.5 10.函数f(x)=cos3x+π6在[0,π]的零点个数为　　　　.   应用实践 1.已知θ∈π2,π,则1+2sin(π+θ)sinπ2-θ= (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.±(sin θ-cos θ) B.cos θ-sin θ C.sin θ-cos θ　 D.sin θ+cos θ 2.已知点Psin3π4,cos3π4落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为 (　　) A.5π4 B.3π4 C.7π4 D.π4 3.已知tan x=-12,则sin2x+3sin xcos x-1的值为 (　　) A.13 B.2 C.-2或2 D.-2 4.设函数f(x)=cosx+π3,则下列结论错误的是 (　　) A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称 C.f(x+π)的一个零点为x=π6 D.f(x)在π2,π上单调递减 5.已知函数f(x)=sinωx-π3(ω>0),x∈[0,π]的值域为-32,1,则ω的取值范围是 (　　) A.13,53 B.56,1 C.56,53 D.(0,+∞) 6.(多选)对于函数f(x)=sinx,sinx≤cosx,cosx,sinx>cosx,下列四个结论中正确的是 (　　) A.f(x)是以π为周期的函数 B.当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值-1 C. f(x)的图象的对称轴为直线x=π4+kπ(k∈Z) D.当且仅当2kπ<x<π2+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤22 7.设函数f(x)=cosωx-π6(ω>0),若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　.  8.若角α的顶点在坐标原点O,始边为x轴的非负半轴,终边所在直线过点(3,-4),则sin3π2+α=　　　　.  9.若函数f(x)=cosωx+π6(ω∈N*)图象的一个对称中心是π6,0,则ω的最小值为　　　　.  10.已知函数f(x)=cosx-π6,则下列结论中正确的是　　　　.(请把正确结论的序号填到横线处)  ①f(x)的一个周期是-4π; ②f(x)的一个对称中心是-π3,0; ③f(x)的一条对称轴方程是x=-5π6; ④f(x)在-π6,5π6上是减函数. 11.已知θ∈(0,π),且sin θ+cos θ=13. (1)求sin θcos θ的值; (2)求sin θ-cos θ的值; (3)求tan θ的值. 12.已知函数f(x)=asin2ωx+π6+a2+b(x∈R,a>0,ω>0)的最小正周期为π,其最大值是74,最小值是34. (1)求ω,a,b的值; (2)指出f(x)的单调递增区间. 13.已知函数f(x)=sin2x+π6. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若函数g(x)=f(x)-k在区间-π6,13π12上有三个零点,求实数k的取值范围. 14.已知函数f(x)=2sinπ2x+π4+1. (1)求函数f(x)的最小正周期及其单调递减区间; (2)若x1,x2是函数f(x)的零点,试用列举法表示cos(x1+x2)π2的取值组成的集合.深度解析 15.已知函数f(x)=m-22x+1是定义在R上的奇函数. (1)求实数m的值; (2)如果对任意x∈R,不等式f(2a+cos2x)+f(4sin x-2a-1-7)<0恒成立,求实数a的取值范围. 答案全解全析 1.答案　13 解析　∵角α与角β的终边关于y轴对称,∴β=(2k+1)π-α,k∈Z,∵sin α=13,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α=13(k∈Z). 2.答案　12 解析　sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12. 3.D　 因为x∈[-π,π],所以由f(-x)=sin(-x)+(-x)cos(-x)+(-x)2=-sinx+xcosx+x2=-f(x),可知函数f(x)为奇函数,所以选项A错误.又由当x=π时,f(π)=sin π+πcos π+π2=ππ2-1,可知0<f(π)<1,所以只有选项D中图象符合,故选D. 4.D　令y=f(x)=2|x|sin 2x,则f(-x)=2|-x|·sin(-2x)=-2|x|sin 2x=-f(x),又函数的定义域为R,所以f(x)为奇函数①;当x∈(0,π)时,2|x|>0,sin 2x可正可负,所以f(x)可正可负②.由①②可知,选D. 5.C　由题意得,函数的定义域关于原点对称,函数y=sin2x1-cosx为奇函数,图象关于原点对称,故排除B;当x=π时,y=0,故排除D;当x=1时,y=sin21-cos1>0,故排除A.故选C. 6.A　对于选项A,作出f(x)=|cos 2x|的部分图象,如图1所示,则f(x)在π4,π2上单调递增,且最小正周期T=π2,故A正确. 对于选项B,作出f(x)=|sin 2x|的部分图象,如图2所示,则f(x)在π4,π2上单调递减,且最小正周期T=π2,故B不正确. 对于选项C,∵f(x)=cos|x|=cos x,∴最小正周期T=2π,故C不正确. 对于选项D,作出f(x)=sin|x|的部分图象,如图3所示.显然f(x)不是周期函数,故D不正确.故选A. 图1 图2 图3 7.C　f(x)的定义域为(-∞,+∞), f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),故f(x)是偶函数,①正确; 当x∈π2,π时, f(x)=sin x+sin x=2sin x,其在该区间上单调递减,②不正确; 当x∈[0,π]时,sin x≥0, f(x)=2sin x有两个零点,当x∈[-π,0)时, f(x)=-2sin x仅有一个零点,所以f(x)在[-π,π]上有3个零点,故③不正确; 当x≥0时, f(x)=sin x+|sin x|,其最大值为2,又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在R上的最大值为2,④正确. 综上,①④正确,②③不正确.故选C. 8.D　由x∈[0,2π],得ωx+π5∈π5,2ωπ+π5.设2ωπ+π5=t,由题意及函数y=sin x的图象知,t∈[5π,6π),则ω∈125,2910,故f(x)在(0,2π)上有且仅有3个最大值点,而f(x)在(0,2π)上可能有2个最小值点,也可能有3个最小值点,故①正确,②不正确,④正确.当x∈0,π10时,ωx+π5∈π5,ωπ10+π5,因为ω∈125,2910,所以ωπ10+π5<29π100+π5=49π100<π2,故f (x)在0,π10上单调递增,③正确.故选D. 9.B　依题意,有ω·-π4+φ=mπ,ω·π4+φ=nπ+π2(m,n∈Z), ∴ω=2(n-m)+1,φ=2(m+n)+14π. 又|φ|≤π2,∴m+n=0或m+n=-1. 当m+n=0时,ω=4n+1,φ=π4,由f(x)在π18,5π36上单调,得πω≥5π36-π18,∴ω≤12,取n=2,得ω=9, f(x)=sin9x+π4符合题意. 当m+n=-1时,φ=-π4,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin11x-π4,此时,当x∈π18,536π时,11x-π4∈1336π,2318π, f(x)不单调,不合题意.故选B. 10.答案　3 解析　令f(x)=cos3x+π6=0,得3x+π6=kπ+π2(k∈Z),解得x=k3π+π9(k∈Z),由0≤k3π+π9≤π得k可取0,1,2, ∴f(x)=cos3x+π6在[0,π]上有3个零点. 应用实践 1.C　1+2sin(π+θ)sinπ2-θ =1-2sinθcosθ =sin2θ+cos2θ-2sinθcosθ =(sinθ-cosθ)2=|sin θ-cos θ|, 又π2≤θ≤π, ∴sin θ>cos θ, 即sin θ-cos θ>0. 因此,原式=sin θ-cos θ,故选C. 2.C　∵sin3π4>0,cos3π4<0,∴点P在第四象限, 又tan θ=cos3π4sin3π4=-2222=-1,θ∈[0,2π), ∴θ=7π4.故选C. 3.D　sin2x+3sin xcos x-1 =sin2x+3sinxcosxsin2x+cos2x-1 =tan2x+3tanxtan2x+1-1=-122+3×-12-122+1-1=-2. 4.D　由题意可知函数的周期为2kπ,k∈Z且k≠0,A正确;将x=8π3代入f(x)=cosx+π3得f8π3=-1,所以B正确;f7π6=cos3π2=0,C正确;函数f(x)=cosx+π3的图象可由y=cos x的图象向左平移π3个单位得到,故f(x)的图象如图所示,则f(x)在π2,π上先单调递减后单调递增,故D选项错误.故选D. 5.C　∵0≤x≤π,∴-π3≤ωx-π3≤ωπ-π3,又f(x)∈-32,1,∴π2≤ωπ-π3≤4π3,解得56≤ω≤53.故选C. 6.CD　作出函数f(x)的部分图象,如图中实线部分所示,由图象知f(x)的最小正周期为2π,A错误;当且仅当x=2kπ+π,或x=2kπ-π2(k∈Z)时, f(x)取得最小值-1,B错误; f(x)图象的对称轴方程为x=π4+kπ(k∈Z),C正确;由0<f(x)≤22得2kπ<x<2kπ+π2(k∈Z),D正确,故选CD. 易错警示　解决此类分段函数问题的常用方法是图象法,解题时要避免因画错图象导致错误,更要避免因看错图象特别是周期导致解题错误. 7.答案　23 解析　∵f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立,∴fπ4为f(x)的最大值,∴π4ω-π6=2kπ(k∈Z), ∴ω=8k+23(k∈Z),∵ω>0,∴当k=0时,ω取最小值23. 8.答案　-35 解析　r=32+(-4)2=5, ∴sin3π2+α=sinπ+π2+α =-sinπ2+α=-cos α=-35,故填-35. 9.答案　2 解析　由题意得ω×π6+π6=π2+kπ,则ω=6k+2(k∈Z),因为ω∈N*,所以ω的最小值是2. 10.答案　①②③ 解析　①②③正确,易于判断. 把y=cos x的图象向右平移π6个单位,就得到f(x)=cosx-π6的图象, 故f(x)=cosx-π6在-π6,π6上是单调递增函数,在π6,5π6上是单调递减函数,故④错误. 11.解析　(1)因为sin θ+cos θ=13, 所以(sin θ+cos θ)2=19, 所以1+2sin θcos θ=19, 所以sin θcos θ=-49. (2)因为θ∈(0,π),sin θcos θ=-49,所以sin θ>0,cos θ<0,所以sin θ-cos θ>0. 所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1+89=179.所以sin θ-cos θ=173. (3)因为sin θ+cos θ=13, sin θ-cos θ=173, 所以sin θ=16+176, cos θ=16-176, 所以tan θ=-9+178. 12.解析　(1)由函数的最小正周期为π,得2π2ω=π,∴ω=1.∵f(x)的最大值是74,最小值是34,且a>0, ∴a+a2+b=74,-a+a2+b=34,解得a=12,b=1. (2)由(1)知, f(x)=12sin2x+π6+54, 当2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z), 即kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)时, f(x)单调递增, ∴f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6(k∈Z). 13.解析　(1)令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z). 所以函数f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6(k∈Z). (2)令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z),得kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z),所以函数f(x)的单调递减区间为kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z). 当x∈-π6,13π12时, f(x)在区间-π6,π6和2π3,13π12上单调递增, 在区间π6,2π3上单调递减. f-π6=-12, fπ6=1, f2π3=-1, f13π12=32, g(x)=f(x)-k在区间-π6,13π12上有三个零点等价于函数y=f(x)与y=k的图象在区间-π6,13π12上有三个交点,结合草图可知-12≤k≤32, 所以函数g(x)在区间-π6,13π12上有三个零点时,-12≤k≤32. 14.解析　(1)f(x)的最小正周期T=2ππ2=4, 对于函数f(x)=2sinπ2x+π4+1, 当2kπ+π2≤π2x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)时,f(x)单调递减, 解得4k+12≤x≤4k+52(k∈Z), 所以函数f(x)的单调递减区间是4k+12,4k+52(k∈Z). (2)由2sinπ2x+π4+1=0, 得sinπ2x+π4=-12, 所以函数f(x)的零点满足π2x+π4=2kπ-π6或π2x+π4=2kπ+π+π6(k∈Z), 即x=4k-56或x=4k+116(k∈Z), 所以x1,x2是集合A=x|x=4k-56,k∈Z或集合B=x|x=4k+116,k∈Z中的元素. 当x1,x2∈A时,(x1+x2)π2=2kπ-5π6(k∈Z), 则cos(x1+x2)π2=cos2kπ-5π6 =cos5π6=-32; 当x1∈A,x2∈B(或x1∈B,x2∈A)时,(x1+x2)π2=2kπ+π2(k∈Z), 则cos(x1+x2)π2=cos2kπ+π2 =cosπ2=0; 当x1,x2∈B,(x1+x2)π2=2kπ-π6(k∈Z), 则cos(x1+x2)π2=cos2kπ-π6 =cosπ6=32. 所以cos(x1+x2)π2的取值组成的集合是-32,0,32. 解题模板　研究y=Asin(ωx+φ)在x∈R上的性质,常用换元法,设t=ωx+φ,由y=Asin t的性质列方程(组)或不等式(组)进行求解. 15.解析　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即m-22x+1+m-22-x+1=0,即2m-2=0,故m=1. (2)因为m=1,所以f(x)=1-22x+1. 任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=21+2x2-21+2x1=2(2x1-2x2)(1+2x1)(1+2x2). 因为x1<x2,所以2x1<2x2,所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在R上是增函数. 因为f(2a+cos2x)+f(4sin x-2a-1-7)<0,且f(x)是奇函数, 所以f(2a+cos2x)<-f(4sin x-2a-1-7)=f(2a-1-4sin x+7), 所以2a+cos2x<2a-1-4sin x+7, 即2a-2a-1<-cos2x-4sin x+7对任意x∈R都成立. 由于-cos2x-4sin x+7=(sin x-2)2+2,其中-1≤sin x≤1, 所以(sin x-2)2+2≥3, 即-cos2x-4sin x+7的最小值为3. 所以2a-2a-1<3, 即2a-1-2a-1-2<0, 解得0≤2a-1<2, 由0≤2a-1<2,得12≤a<52. 故实数a的取值范围是a|12≤a<52. 21 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！