5.4数列的应用同步练习2020-2021学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第三册.doc

数列的应用 一、选择题 1．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝(　　) A. B. C. D. 2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋3，则a4＋a5＋…＋a10等于(　　) A．171 B．21 C．10 D．161 3．等比数列{an}的通项an＝2·3n－1，其前n项和为Sn，则a1＋a3＋…＋a2n－1＝(　　) A．3n－1 B．32n－1－1 C.(9n－1) D．9n－1 4．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为(　　) A. B. C. D. 二、填空题 5．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________. 6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________. 7．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________． 三、解答题 8．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 9．一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息． (1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？ (2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h，这支车队当天总共行驶了多少路程？ 10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 1．解析：当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝. 答案：C 2．解析：∵数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋3 ∴a4＋a5＋…＋a10＝S10－S3 ＝(2×102－3×10＋3)－(2×32－3×3＋3) ＝161. 答案：D 3．解析：S2n＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2＋a4＋…＋a2n ＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)(1＋q)， ∴a1＋a3＋…＋a2n－1＝S2n＝× ＝(9n－1)． 答案：C 4．解析：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{an}， a1＝6(尺)，S30＝11×40＋30＝470(尺)，设公差为d(尺)，则30×6＋d＝470，解得d＝. 则＝＝ ＝. 答案：C 5．解析：an－an－1＝a1qn－1＝2n－1， 即 相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2， 故an＝a1＋2n－2＝2n－1. 答案：2n－1 6．解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1， S2n＝，S奇＝. 由题意得＝. ∴1＋q＝3，∴q＝2. 答案：2 7．解析：由＝q，q＝2，得＝2⇒a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450. 答案：450 8．解析：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 因为a3＝7，a5＋a7＝26， 所以 解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， Sn＝3n＋×2＝n2＋2n. 所以an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n. (2)由(1)知an＝2n＋1， 所以bn＝＝＝· ＝·， 所以Tn＝·＝ ·＝， 即数列{bn}的前n项和Tn＝. 9．解析：由题意，知第1辆车在休息之前行驶了240 min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an}，其中a1＝240，公差d＝－10，则an＝240－10(n－1)＝－10n＋250. (1)∵a15＝－10×15＋250＝100， ∴到下午6时，最后一辆车行驶了100 min. (2)这支车队所有车辆行驶的总时间为×15＝2 550(min)＝(h)，∴这支车队当天总共行驶的路程为×60＝2 550(km)． 10．解析：(1)第1年投入为800万元， 第2年投入为800×万元， …， 第n年投入为800×n－1万元， 所以，n年内的总投入为： an＝800＋800×＋…＋800×n－1 ＝4 000×， 第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×万元， …， 第n年旅游业收入400×n－1万元． 所以，n年内的旅游业总收入为 bn＝400＋400×＋…＋400×n－1 ＝1 600×. (2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0， 即1 600×－4 000×＞0， 化简得5×n＋2×n－7＞0， 令x＝n，代入上式得：5x2－7x＋2＞0. 解得x＜，或x＞1(舍去)． 即n＜，由此得n≥5. ∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入．