5.4.1正弦函数、余弦函数的图象-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册).pptx

,5.4 三角函数的图象与性质,5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象,前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢？类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论.我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式()=，()=来表示.这说明，自变量每增加(减少)，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程.,下面先研究函数=，的图象，从画函数=，,的图象开始.,思考1：在,上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值，并画出点(,)?,如图，在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为(,).在单位圆上，将点绕着点旋转 弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标=.由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点(,).,若把轴上从0到2这一段分成12等份，使 的值分别为0，2，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点(,)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.,事实上，利用信息技术，可使 在区间0，2上取到足够多的值而画出足够多的点(，)，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得的比较精确的函数=，的图象.,思考2：根据函数=，的图象，你能想象函数=，的图象吗？由诱导公式一可知，函数=，,(+)，且的图象与=，的图象形状完全一致.因此将函数=，的图象不断向左、向右平移(每次移动个单位长度)，就可以得到正弦函数=，的图象.,正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.,思考3：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？观察函数=，,的图象上，以下五个点：(,),(,),(,),(,),(,)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数=，,的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的.由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数.下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象.,思考4：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数？对于函数=，由诱导公式=(+)得，=(+)，.而函数=(+)的图象可以通过正弦函数=，的图象向左平移 个单位长度而得到.所以，将正弦函数的图象向左平移 个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示：,余弦函数=，的图象叫做余弦曲线.它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.,类似于“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间,上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表中，然后画出=，,的简图.,例1.画出下列函数的简图：(1)=1+,0,2;,解：(1)按五个关键点列表：,描点并将它们用光滑的曲线连接起来：,解：(2)按五个关键点列表：,描点并将它们用光滑的曲线连接起来：,例1.画出下列函数的简图：(2)=,0,2.,例1.用“五点法”作出函数=,的简图.,解：按五个关键点列表：,描点并将它们用光滑的曲线连接起来：,变1.用“五点法”作出函数=+,的简图.,解：按五个关键点列表：,描点并将它们用光滑的曲线连接起来：,例2.求函数=的定义域.,解：由 得，画出=的图象和直线=，如图：,可知 的解集为|6+2 5 6+2,.,变2.求函数=的定义域.,解：由 得，画出=的图象和直线=，如图：,可知 的解集为|3+2 3+2,.,课堂小结：(1)正、余弦函数的简图；(2)五点法作图的“五个关键点”.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P200的练习13题.,