5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（备课件）-【上好课】2021-2022学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）.pptx

第5章 三角函数,5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质,人教A版2019高中数学必修第一册,正弦函数、余弦函数的性质,【导学1】一般的函数图像都有哪些性质可以研究？,【解答】图像特点、单调性、奇偶性、最值(极值)等等,【导学2】正弦函数 和余弦函数 的定义域和值域是什么？,=,=,【解答】定义域都是R，值域都是-1，1,正弦函数、余弦函数的性质,【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔 2个单位 长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自变量 的值加上2的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.,正弦函数、余弦函数的性质,【定义】一般地，设函数 的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个 都有，且.那么函数 就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.,+,+=,周期函数的周期不止一个.例如2，4，6以及-2，-4，-6等.都是正弦函数的周期.,如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期.,根据上述定义，有如下结论：,【1】正弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2,【2】余弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2,正弦函数、余弦函数的性质,【周期函数的理解】,对周期函数与周期定义中的“当 取定义域内的每一个值时”，要特别注意其中“每一个”的要求.如果只是对某些 有，那么T就不是 的周期.,+=,自变量 本身加的常数才是最小正周期.如 中T不是最小正周期，因为，所以 才是最小正周期.,+=,+=+=,正弦函数、余弦函数的性质,【周期函数的理解】,周期函数的周期不唯一.若T是函数 的最小正周期，则 也是函数 的周期.,并不是所有的周期函数都有最小正周期.例如，对于函数 所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.,=为常数,正弦函数、余弦函数的性质,【例1】1.求下列函数的周期：,=,=,【解】,任意，有(+)=,由周期函数的定义可知，原函数 的周期为.,令=,由得，且=的周期为，即(+)=,于是+=,所以+=,.由周期函数的定义可知，原函数的周期为.,【1】等式+=是否成立？如果这个成立，能否说 是正弦函数=的一个周期？为什么？,【解】等式+=成立，但不能说 是正弦函数=的一个周期，因为对定义域内任意，+不一定等于，如+，所以 不是正弦函数的一个周期.,【探究】从前面的例子可以看出，函数=+及=+（其中，为常数，且，）的周期仅与自变量的系数有 关.那么，如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？,【函数=+,()和函数=+,()的周期】,探究与发现,【函数=+,()和函数=+,()的周期】,事实上，令=+，那么由得，且函数=,及函数=,的周期都是.,因为+=+=+，所以自变量增加，函数值就重复出现，并且增加量小于 时，函数值不会重复出现.即=是使得等式,+=+，+=+成立的最小正数，从而这两个函数的周期为=,探究与发现,【例1】2.求下列函数的周期,=,=,【解】本题可以直接用公式求解：,=,=,【思考】上述求函数y=A sin x+,(xR)和y=A cos x+,(xR)周期的方法是否能推广到求一般周期函数的周期？即下列命题“如果函 数=的周期是T，那么函数=()的周期是”是否 成立？,【解答】上述命题是成立的.一般地，若函数=的周期是T，那么函数 y=A x+,xR(其中，为常数，且，)的,周期为,探究与发现,【探究】观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲 线关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.,【注意】判断函数的奇偶性时，一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称，只要定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性.,由奇偶性我们知道正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴(x=0)对称.,正弦曲线和余弦曲线即是中心对称图形，又是轴对称图形.,.函数=的对称轴是直线=+,，对称中心是,.,.函数=的对称轴是直线=,，对称中心是+,.,奇偶性,单调性,【探究】由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间里如 讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整 个定义域.,如图可以看到：当 由 增大到 时，曲线逐渐上升，的值由 1减小到-1.,正弦函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.,=,单调性,正弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.,+,+(),+,+(),由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道：,单调性,余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增；在每一个闭区间 上都单调递减.,+,(),同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：,+，(),最大值与最小值,【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：,正弦函数当且仅当 时取得最大值1，当且仅当 时取得最小值-1；,=+(),=+(),余弦函数当且仅当 时取得最大值1，当且仅当 时取得最小值-1；,=(),=+(),R,R,-1，1,-1，1,最小正周期为2,最小正周期为2,