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5.4.2
第1课时
正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性学案-2022-2023学年高一数学精品同步课堂人教A版2019必修第一册
5.4
课时
正弦
函数
余弦
周期性
奇偶性
2022
2023
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期.
3.掌握函数y=sinx,y=cosx的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.
1.直观想象
2.逻辑推理
【自主学习】
一.函数的周期性
1.函数的周期性
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个__________________,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且____________,那么函数f(x)就叫做周期函数.
____________叫做这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________,那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
解读:
(1)并不是每一个函数都是周期函数.
(2)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.若一个函数为周期函数,则只需研究它在一个周期内的性质,就可以知道它的整体性质.
(3)如果T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.
二.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y=sinx
y=cosx
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
____
____
奇偶性
________
________
【小试牛刀】
思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)所有的周期函数都有最小正周期.( )
(2)周期函数y=f(x)的周期可能只有一个.( )
(3)若sin=sin,则是函数y=sin x的一个周期.( )
(4)因为sin=sin,所以函数y=sin的周期为4π.( )
(5)函数y=是奇函数.( )
(6)函数y=sin是奇函数.( )
【经典例题】
题型一 正、余弦函数的周期性
点拨:求三角函数周期的方法:
1.定义法:即利用周期函数的定义求解.
2.公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的最小正周期T=;形如y=|Asin(ωx+φ)|或y=|Acos(ωx+φ)| (A≠0,ω≠0)的最小正周期T=.
3.图象法:即通过观察函数图象求其周期.
例1 求下列函数的最小正周期.
(1)f(x)=cos;(2)f(x)=|sinx|.
【跟踪训练】1 利用周期函数的定义求下列函数的周期.
(1)y=cos 2x,x∈R; (2)y=sin,x∈R.
题型二 正、余弦函数的奇偶性
点拨:1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面:
一看函数的定义域是否关于原点对称;
二看f(x)与f(-x)的关系.
2.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
例2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=sinxcosx;(2)f(x)=1-cosx+cosx-1.
【跟踪训练】2 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=cos+x2sin ; (2)f(x)=sin|x|.
题型三 正、余弦函数周期性与奇偶性的应用
点拨:1.三角函数周期性与奇偶性的解题策略
探求三角函数的周期,常用方法是公式法,即将函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再利用公式求解.
2.与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);
(2)要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ+(k∈Z);
(3)要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ+(k∈Z);
(4)要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).
例3 (1)下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是( )
A.y=cos|2x| B.y=|sin 2x|
C.y=sin D.y=cos
(2)若函数f(x)=sin是偶函数,则φ的一个取值为( )
A.2010π B.-
C.- D.-
【跟踪训练】3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sinx,求f的值.
【当堂达标】
1.如图所示的是定义在R上的四个函数的图象,其中不是周期函数的图象的是( )
2.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x), f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图象是( )
3.函数f(x)=3sin是( )
A.周期为3π的偶函数 B.周期为2π的偶函数
C.周期为3π的奇函数 D.周期为的偶函数
4.函数f(x)=sin,x∈R的最小正周期为 .
5.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是________.
6.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=sin+2;
(2)f(x)=x·cosx;
(3)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x) .
【参考答案】
【自主学习】
一.非零常数T f(x+T)=f(x) 非零常数T 最小的正数
二.2π 2π 奇函数 偶函数
【小试牛刀】
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
【经典例题】
例1 解:(1)解法一:定义法
∵f(x)=cos=cos==f(x+π),
即f(x+π)=f(x),
∴函数f(x)=cos的最小正周期为π.
解法二:公式法
∵y=cos,∴ω=2.又T===π.
∴函数f(x)=cos的最小正周期为π.
(2)解法一:定义法
∵f(x)=|sinx|,
∴f(x+π)=|sin(x+π)|=|sinx|=f(x),
∴f(x)的最小正周期为π.
解法二:图象法
函数y=|sinx|的图象如图所示,
由图象可知最小正周期为π.
【跟踪训练】1 解:(1)因为cos 2(x+π)=cos(2x+2π)=cos 2x,
由周期函数的定义知,y=cos 2x的周期为π.
(2)因为=sin=sin,
由周期函数的定义知,y=sin的周期为6π.
例2 解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.
∵f(-x)=sin (-x)cos (-x)=-sinxcosx=-f(x),
∴f(x)=sinxcosx为奇函数.
(2)由1-cosx≥0,cosx-1≥0,得cosx=1,
∴函数的定义域为{x|x=2kπ,k∈Z},定义域关于原点对称.
当cosx=1时,f(-x)=0,f(x)=±f(-x).
∴f(x)=1-cosx+cosx-1既是奇函数又是偶函数.
【跟踪训练】2 解: (1)f(x)=sin 2x+x2sin x,
又∵x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)=-sin 2x-x2sin x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)因为函数的定义域为R,
f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),
所以函数f(x)=sin|x|是偶函数.
例3 (1)D 解析:y=cos|2x|是偶函数,y=|sin2x|是偶函数,y=sin (π2+2x)=cos2x是偶函数,y=cos (3π2-2x)=-sin2x是奇函数,根据公式得其最小正周期T=π.
(2)D 解析:当φ=-时,f(x)=sin=cosx为偶函数,故选D.
【跟踪训练】3 解:∵f(x)的最小正周期是π,
∴f=f=f.
∵f(x)是R上的偶函数,
∴f=f=sin=.
∴f=.
【当堂达标】
1.D 解析:观察图象易知,只有D选项中的图象不是周期函数的图象.
2.B 解析:由f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数,图象关于y轴对称.由f(x+2)=f(x),则f(x)的周期为2.故选B.
3.A 解析:∵f(x)=3sin=3sin=-3sin=-3cosx
∴T==3π,而f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.
4.4 解析:由已知得f(x)的最小正周期T==4.
5. 4π 解析:由题意得=≤2,∴k≥4π.∴正整数k的最小值为4π.
6. 解:(1)因为x∈R,f(x)=sin+2=cos+2,
所以f(-x)=cos+2=cos+2=f(x),
所以函数f(x)=sin+2是偶函数.
(2)因为x∈R,f(-x)=-x·cos(-x)=-x·cosx=-f(x),
所以f(x)=xcosx是奇函数.
(3)由得-1<sin x<1,
解得定义域为,
∴f(x)的定义域关于原点对称.
又∵f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x),
∴f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]
=lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
8
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