5.3导数的应用（第2课时）利用导数研究函数的极值（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）.pptx

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册）,第 5 章导数及其应用,5.3导数的应用（第2课时）利用导数研究函数的极值,观察图-中函数 y f（x）的图像，其中有一些特殊的点，在这些特殊点的左右两侧附近，函数的单调性发生了改变 例如，函数在点（x，f（x）的左侧附近严格增，右侧附近严格减，此处出现了一个“山峰”；又如，函数在点（x，f（x）的左侧附近严格减，右侧附近严格增，此处出现了一个“山谷”,换句话说，在 x=x 附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都不大于 f（x），此时，就说函数 y f（x）在x x 处取得 极大值 f（x），而点 x 称为函数 y f（x）的 极大值点 类似地，在 x x 附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都不小于 f（x），此时，就说函数 y f（x）在 x x 处取得 极小值 f（x），而点 x 称为函数 y f（x）的 极小值点,因此，图-所示的函数有三个极大值点 x、x、x，还有三个极小值点 x、x、x,极大值和极小值统称为极值，而极大值点和极小值点则统称为极值点,在导数都存在的前提下，极值点一定是相应函数单调增区间及单调减区间的分界点，从而是函数的驻点，函数曲线在该点的切线是水平的 但反过来，我们却不能说一个函数的驻点一定是其极值点 例如，在函数,因此，要找到函数 y f（x）的极值点，通过f（x）找到驻点 x x 只是第一步，还要根据驻点附近f（x）的符号才能断定x 是否为f（x）的极值点,具体地说，我们有如下定理：,解 对函数求导，得f（x）x 令f（x），解得x，从而 x 为函数 y f（x）的唯一驻点 把该驻点与其两侧的区间列表如下：,因此，y f（x）在区间（，）内严格增，在区间（，）内严格减，在 x 处取得极大值 f（）,例7.求正弦函数 y x 的单调区间和极值,解 这是一个周期为的周期函数 记 f（x）x，,因此，对任意给定的 k Z，正弦函数 yx 在区间,课本练习,求余弦函数 y x 的单调区间和极值,随堂检测,1、函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)（）A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点,【答案】C；【解析】设yf(x)的图像与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在xx1，xx3处取得极大值，在xx2，xx4处取得极小值；,2、已知函数yxln(1x2)，则函数yxln(1x2)的极值情况是（）A有极小值 B有极大值 C既有极大值又有极小值 D无极值,【答案】D；,3、函数)f(x)x33x29x5的极大值为；极小值为,【答案】10；22；【解析】函数f(x)x33x29x5的定义域为R，且f(x)3x26x9；解方程3x26x90，得x11，x23；当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：因此，x1是函数的极大值点，极大值为f(1)10；x3是函数的极小值点，极小值为f(3)22；,4、已知函数f(x)x3ax23x9在x3处取得极值，则a,【答案】5；,【解析】由f(x)3x22ax3，由题意得f(3)0，解得a5；,5、已知函数y3xx3m的极大值为10，则m的值为_【答案】8；,【解析】由y33x23(1x)(1x)，令y0得x11，x21，经判断知x1是极大值点，故f(1)2m10，m8.,6、求下列函数的极值：（1）yx33x29x5；（2）f(x)xaln x(aR)，,【解析】（1）因为y3x26x9，令y0，即3x26x90，解得x11，x23.当x变化时，y，y的变化情况如下表：,所以，当x1时，函数yf(x)有极大值，且f(1)10；当x3时，函数yf(x)有极小值，且f(3)22.,当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增，函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，解得xa；当0 xa时，f(x)0；当xa时，f(x)0.所以，f(x)在xa处取得极小值，且f(a)aln a，无极大值；综上可知，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值；,THANKS,“,”,