5.3
复数
三角
表示
2020
2021
学年
数学
同步
精美
课件
北师大
2019
必修
第二
复数的三角表示,授课教师:郭海欣,温故知新,学习目标,1.了解复数的三角形式;2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系;3.了解复数乘、除法运算的三角表示及其几何意 义.(重点、难点),课文精讲,如图,我们知道,与复数z=a+bi(a,bR),对应的向量 的模r称为这个复数的模,且r=+.,以原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边、向量 所在的射线为终边的角,称为复数z=a+bi的辐角.,复数的三角表示式,课文精讲,从图可以知道:,a=rcos,b=rsin,,因此,z=a+bi=rcos+irsin=r(cos+isin).,复数的三角表示式,课文精讲,于是,任何复数z=a+bi(a,bR)都可以表示为,z=r(cos+isin),其中r=+,cos=,sin=.,这个式子称为复数z=a+bi(a,bR)的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分,a+bi称为复数的代数表示式,简称代数形式.,复数的三角表示式,课文精讲,当复数z=r(cos+isin)0时,z的辐角有无穷多个值,这些值相差2的整数倍.例如,复数i的辐角是+2k,其中k可以取任何整数.,复数的三角表示式,课文精讲,为确定起见,将满足条件0 2的辐角值,称为辐角的主值,记作arg z,即0arg z2.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值,并且可由它的模与辐角的主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.,复数的三角表示式,课文精讲,显然,当0时,arg=0,arg(-)=,arg(i)=,arg(-i)=.如果z=0,那么与它对应的向量 缩成一个点(零向量),它的方向是任意的,所以复数0的辐角也是任意的.,复数的三角表示式,课文精讲,复数的代数形式可以转化为三角形式,三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要,将复数的三角形式和代数形式进行互化.,复数的三角表示式,典型例题,例1:请将以下复数表示为三角形式(辐角取主值):(1)+;(2)1-;(3)-1.,解:(1)因为=+=2,cos=,sin=,所以=.于是+=2+.,典型例题,例1:请将以下复数表示为三角形式(辐角取主值):(1)+;(2)1-;(3)-1.,解:(2)因为=+=,cos=,sin=,所以=.于是1-=+.,典型例题,例1:请将以下复数表示为三角形式(辐角取主值):(1)+;(2)1-;(3)-1.,解:(3)因为=+=1,cos=-1,sin=0,所以=.于是-1=cos+isin.,课文精讲,将复数z1,z2分别用三角形式表示为 z1=r1(cos1+isin1),z2=r2(cos2+isin2).,复数乘除运算的几何意义,一、乘法,课文精讲,由复数乘法的定义与两角和的三角函数公式,有z1z2=r1(cos1+isin1)r2(cos2+isin2)=r1r2(cos1cos2-sin1sin2)+i(sin1cos2+cos1sin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2).,复数乘除运算的几何意义,一、乘法,课文精讲,即,复数乘除运算的几何意义,这就是说,两个复数相乘,积的模等于它们的模的积,积的辐角等于它们的辐角的和.,r1(cos1+isin1)r2(cos2+isin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2).,一、乘法,课文精讲,复数乘除运算的几何意义,据此,两个复数z1,z2相乘时,可以先画出它们分别对应的向量,然后把向量 绕原点O按逆时针方向旋转角2(若20,就要 绕原点O按顺时针方向旋转角|),,一、乘法,课文精讲,复数乘除运算的几何意义,再把它的模变为原来的r2倍,所得向量 就表示复数z1,z2的乘积(如图).这是复数乘法的几何意义.,一、乘法,典型例题,例2:如图,向量 与复数-i对应,把 绕原点O按逆时针方向旋转120得到,求 对应的复数(用代数形式表示).,解:根据复数乘法的几何意义,所求的复数就是-i乘一 个复数z0的积,z0的 模是1,辐角的主值 是120.,典型例题,例2:如图,向量 与复数-i对应,把 绕原点O按逆时针方向旋转120得到,求 对应的复数(用代数形式表示).,解:故所求的复数是(cos120+isin120)=+=-i.,典型例题,例3:试证明:r(cos+isin)3=r3(cos3+isin3).,证明:r(cos+isin)3=r(cos+isin)r(cos+isin)r(cos+isin)=r(cos+isin)r(cos+isin)r(cos+isin)=r2(cos2+isin2)r(cos+isin)=r3(cos3+isin3).,课文精讲,二、除法,复数乘除运算的几何意义,设z1=r1(cos1+isin 1),z2=r2(cos2+isin2),且z20,则=(+)(+)=(+)()(+)(),课文精讲,二、除法,复数乘除运算的几何意义,这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.,所以,(+)(+)=()+(),典型例题,例4:计算:,并把结果化为代数形式.,+,解:+=+=+=(+)=.,课文精讲,思考:请计算复数r(cos+isin)的平方根和3次方根.,(1)设z1=r1(cos1+isin1)是r(cos+isin)的平方根,则z12=r(cos+isin),r12(cos21+isin21)=r(cos+isin),r12=r,且21=+2k,kZ,r1=,1=k+,kZ,z1=+(k=0,1).,课文精讲,思考:请计算复数r(cos+isin)的平方根和3次方根.,(2)设z2=r2(cos2+isin2)是r(cos+isin)的3次方根,则z23=r(cos+isin),r23(cos32+isin32)=r(cos+isin),r23=r,且32=+2k,kZ,r2=,2=+,kZ,z2=+(k=0,1,2).,综合练习,瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角形式:ei=cos+isin,(i为虚数单位),根据该式,计算ei+1的值为()A-1 B0 C1 Di,解:由ei=cos+isin,则ei+1=cos+isin+1=0,故选B.,B,综合练习,计算下列各式,并作出几何解释:(1)(cos+isin)2(cos+isin);(2)4(cos300+isin300)(cos+isin).,解:(1)(cos+isin)2(cos+isin)=4(cos+isin)=-4,,综合练习,计算下列各式,并作出几何解释:(1)(cos+isin)2(cos+isin);(2)4(cos300+isin300)(cos+isin).,解:(1)表示对于复数(cos+isin)逆时针 方向旋转,再把模变为原来的2 倍.,综合练习,计算下列各式,并作出几何解释:(1)(cos+isin)2(cos+isin);(2)4(cos300+isin300)(cos+isin).,解:(2)4(cos300+isin300)(cos+isin)=2(cos165+isin165)=-(+1)+i(-1),,综合练习,计算下列各式,并作出几何解释:(1)(cos+isin)2(cos+isin);(2)4(cos300+isin300)(cos+isin).,解:(2)表示对于复数4(cos300+isin300)顺时 针方向旋转135,再把模变为原来的 倍.,本课小结,再 见,