5.3.1函数的单调性教学设计-（新教材 新高考高中数学）-2021-2022学年高二上学期数学（人教A版（2019）选择性必修第二册）.docx

5.3.1函数的单调性 （一）教学内容 函数的单调性 （二）教材分析 函数的单调性是函数性质中的一个重要性质，学生在必修一中已经学习了函数单调性的内容，如利用函数图像、单调性定义来研究函数的单调性，在学习导数的基础上利用导数相关知识研究函数单调性是导数的一个重要应用，也为下一节学习函数的极值打下基础，因此，本节内容具有承上启下的作用。 （三）学情分析 1.认知基础： 学习函数单调性。 （四）教学目标 1. 知识目标： 通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养。 2、能力目标： 能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养。 3、素养目标： 1.数学抽象：导数正负与函数单调性关系 2.逻辑推理：运用导数正负判断函数单调性 3.数学运算：函数单调区间的求解 4.直观想象：导数与函数单调性的关系 （五）教学重难点 重点： 理解函数的单调性与导数的正负之间的关系 难点： 运用导数判断函数的单调性 (六)教学思路与方法（七）课前准备 （八）教学过程 一、 新知探究 在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性质。在本章前两节中我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题。 问题1: 判断函数单调性的方法有哪些? 1.定义法： 2.图像法： 3.性质法:增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减 4.导数法 问题2:图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间变化的函数 h(t)=-4.9t2+4.8t+11 图像. 图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)= h'(t)=-9.8t+4.8的图象，a=2449,b是函数h(t)的零点。 运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 观察图像可以发现 （1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是单调递增，相应地，相应的v(t)=h'(t)>0 （2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是单调递减，相应地，v(t)=h'(t)<0 问题3:我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系，那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？ 对于高台跳水问题，可以发现： 当tϵ(0,a) 时，h't>0,函数的图像是“上升”的， h(t)函数在(0,a)上单调递增； 当tϵ(a,b) 时，h't<0,函数的图像是“下降”的， h(t)函数在(a,b)上单调递减。 这种情况是否具有一般性呢？ 问题4:观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系。 从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系； 导数f ¢(x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率 函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)： f ′(x)的正负 f (x)的单调性 f ′(x)＞0 单调递____ f ′(x)＜0 单调递____ 增 ；减 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减． (　　) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) (4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　) [解析]　(1)√　函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，所以函数f (x)在这个区间上单调递减，故正确． (2)×　切线的“陡峭”程度与|f ′(x)|的大小有关，故错误． (3)√　函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致． (4)√　若f ′(x)≥0(≤0)，则函数f (x)在区间内单调递增(减)，故f ′(x)＝0不影响函数单调性． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 例1. 利用导数判断下列函数的单调性: （1）fx=x3+3x;  （2） fx=sinx-x,x∈0,π;         (3)fx=x-1x 解: (1) 因为fx=x3+3x, 所以 f'x=3x2+3=3x2+1>0 所以fx=x3+3x ，函数在R上单调递增，如图（1）所示 典(2) 因为fx=sinx-x,x∈(0,π), 所以 f'x=cosx-1<0 所以fx=sinx-x ，函数在 (0,π)上单调递减，如图（2）所示 (3) 因为fx=1-1x, x∈(-∞,0)∪(0,+∞),所以f'x=1x2>0 所以，函数fx=1-1x在 -∞,0和(0,+∞),上单调递增，如图（3）所示 用解不等式法求单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导函数f′(x)； (3)解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，并写出解集； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间. 跟踪训练1．（1）函数f (x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数　　　　B．减函数 C．先增后减 D．不确定 A　[∵f (x)＝2x－sin x，∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立， ∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数．] （2）求f (x)＝3x2－2ln x函数的单调区间： [解]　(1)f (x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x)＝6x-2x=2(3x2-1)x 由x＞0，f ′(x)＞0，解得x＞.由x＞0，f ′(x)＜0，解得0＜x＜. ∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为， 单调递减区间为. 例2. 已知导函数 f'x 的下列信息，试画出函数 f(x) 的图象的大致形状. 当1 < x < 4 时, f'x>0; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f'x<0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f'x=0. 解: 当1 < x < 4 时, ,f'x>0 可知f(x) 在此区间内单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f'x<0; 可知f(x) 在此区间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f'x=0. 综上, 函数f(x) 图象的大致形状如右图所示. 研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点 研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 跟踪训练2．（1）导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　) 　　　　　　　　　A　　　　B　　　　 C　　　　 D D　[当x＞0时，f ′(x)＞0，当x＜0时，f ′(x)＜0，所以函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D.] （2）．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________． (－1，2)和(4，＋∞)　[由y＝f ′(x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得y＝f (x)的大致图象如图所示．所以函数f (x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)．] 温故知新，提出问题，，引导学生探究运用导数研究函数的单调性。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养。 通过特例，体会研究导数判断函数单调性的基本原理，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。 通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握运用导数判断函数单调性的步骤和方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。 四、小结 1） 函数的单调性与导数的正负的关系； 在某个区间（a，b）内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增； 在某个区间（a，b）内，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；2） 用导数判断函数单调性的步骤； (1)求函数的定义域；(2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间; 3）应用导数判断函数图象； 五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。