5.3.3 古典概型-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版).docx

5.3.3　古典概型 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．(难点) 2．会用列举法求古典概型的概率．(重点) 3．应用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率．(难点) 1．古典概型及其特征的学习，体现了数学抽象的核心素养． 2．通过古典概型概率的求解，培养数学运算的核心素养. 我们一次向上抛掷红、黄、蓝三颗骰子，可能出现多少种不同的结果呢？ 问题：(1)上述试验中所有不同的样本点有何特点？ (2)掷一枚不均匀的骰子，求出现偶数点的概率，这个概率模型是古典概型吗？ [提示]　(1)①任何两个样本点之间是互斥的；②所有样本点出现的可能性相等． (2)不是，因为骰子不均匀，每个样本点出现的可能性不相等． 1．古典概型的概念 一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型． 2．古典概型的特征 (1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件． (2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 3．古典概型中事件的概率 在样本空间含有n个样本点的古典概型中， (1)每个基本事件发生的概率均为. (2)如果随机事件C包含m个样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知P(C)＝. 思考：从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？ [提示]　不是．因为有无数个基本事件． 4．古典概型中概率的性质 假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则： (1)由0≤m≤n与P(A)＝可知0≤P(A)≤1. (2)因为中包含的样本点个数为n－m，所以 P()＝＝1－＝1－P(A)，即P(A)＋P()＝1. (3)若事件B包含有k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道A＋B包含m＋k个样本点，从而 P(A＋B)＝＝＋＝P(A)＋P(B)． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件．(　　) (2)求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件．(　　) (3)从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率．(　　) (4)抛掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止．(　　) (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[(1)中由于点数的和出现的可能性不相等，故(1)错误；(2)中的基本事件是无限的，故(2)错误；(3)中满足古典概型的有限性和等可能性，故(3)正确；(4)中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故(4)错误．] 2．下列随机事件的数学模型属于古典概型的是(　　) A．在适宜的条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽 B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点 C．某射击手射击一次，可能命中0环、1环、2环、…、10环 D．四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会 D　[利用古典概型的两个条件判断．在A中，事件“发芽”与事件“不发芽”发生的概率不一定相等，与古典概型的第二个条件矛盾；在B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点为无限个，从而有无限个结果，这与古典概型的第一个条件矛盾；在C中，命中0环、1环、2环、…、10环的概率都不一样．] 3．北京冬奥会将要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. A　[8名懂外文的志愿者中随机选1名其样本空间包含8个样本点，“选到懂日文的志愿者”包含3个样本点，因此所求概率为.] 4．从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动，其中“甲被选中”这一事件所含的样本点有________个． 2　[(甲，乙)，(甲，丙)，共2个．] 基本事件的列举问题 【例1】　有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．求 (1)写出试验的样本空间； (2)事件“朝下点数之和大于3”； (3)事件“朝下点数相等”； (4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”． [思路探究]　根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可． [解]　(1)这个试验的样本空间为 Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}． (2)设事件“朝下点数之和大于3”为A，则 A＝{(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}． (3)设事件“朝下点数相等”为事件B，则B＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)}． (4)设事件“朝下点数之差的绝对值小于2”为事件C，则C＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}． 确定样本空间的方法 随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间必须明确事件发生的条件，根据题意，按一定的次序列出问题的答案．求基本事件时，一定要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏． 1．袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的球各一个，按下列要求分别进行试验： (1)从中任取一个球，观察其颜色；(2)从中任取两个球，观察其颜色；(3)一先一后取两个球，观察其颜色． 分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的总数． [解]　(1)试验“从中任取一个球，观察其颜色”的样本空间Ω＝{红，白，黄，黑}，样本点总数为4. (2)试验“从中任取两个球，观察其颜色”的样本空间Ω＝{(红、白)，(红，黄)，(黄，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(红，黑)}，样本点总数为6. (3)试验“一先一后取两个球，观察其颜色”的样本空间Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(红，黑)，(黑，红)}，样本点总数为12. 古典概型的判定 【例2】　下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率； (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率； (3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取得偶数的概率． [思路探究]　根据直观印象判断两个试验的基本事件数是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可． [解]　(1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾． (2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相等”矛盾． (3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等． 判断一个事件是否是古典概型，关键看该事件是否具备古典概型的两大特征： (1)有限性：在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． 2．(1)在数轴上0～3之间任取一点，求此点的坐标小于1的概率．此试验是否为古典概型？为什么？ (2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是2的概率，此试验是古典概型吗？试说明理由． [解]　(1)在数轴上0～3之间任取一点，此点可以在0～3之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型试验结果的有限性．因此不属于古典概型． (2)此试验是古典概型，因为此试验的所有样本点共有6个：即Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，且每个样本点的出现是等可能的，因此属于古典概型． 古典概型概率的求法 [探究问题] 1．掷一枚骰子共有多少种不同的结果？ [提示]　共有6种不同的结果． 2．掷一枚骰子，落地时向上的点数为偶数，包含几种结果？ [提示]　2,4,6共三种结果． 3．掷一枚均匀的骰子，落地时向上的点数为偶数的概率怎样求？ [提示]　记事件A为落地时向上的点数为偶数，则P(A)＝. 【例3】　现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率． [思路探究]　用列举法列出试验的所有可能结果以及事件所包含的可能结果，然后利用公式求解． [解]　(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6，任取2道题，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，样本点共15个．用A表示所取的2道题都是甲类题， 则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，样本点共6个，所以P(A)＝＝. (2)法一：用B表示所取2道题不是同类题． 则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}．样本点共8个，所以P(B)＝. 法二：用C表示所取2道题是乙类题． 则C＝{(5,6)}．由对立事件的概率公式可知所取的2道题不是同一类的概率为 P＝1－[P(A)＋P(C)]＝1－－＝. 古典概型的概率求法 求随机事件的概率时，首先要判断试验是不是古典概型，若是古典概型，则求事件A的概率P(A)的计算步骤是： (1)计算样本空间所有可能的样本点数n. (2)计算事件A包含的样本点数m. (3)计算事件A的概率P(A)＝. 3．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率： (1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次摸到的红球多于白球． [解]　所有的基本事件个数n＝8个．样本空间Ω＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}． (1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”． 则A＝{(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)}． ∵A中含有样本点个数为m＝6， ∴P(A)＝＝＝0.75. (2)记事件B为“三次颜色全相同”． 则B＝{(红，红，红)，(白，白，白)}． ∵B中含有样本点个数为m＝2， ∴P(B)＝＝＝0.25. (3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”． 则C＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)}． ∵C中含有样本点个数为m＝4， ∴P(C)＝＝0.5. 一、知识总结 1．古典概型问题 (1)要准确判断； (2)正确写出样本空间，得到样本点的总数n，确定事件包含的样本点个数m； (3)代入公式计算． 2．注意古典概型与互斥事件概率公式的综合运用，解决较为复杂的概率计算问题． 二、方法归纳 列举法、列表法、树状图法． 三、常见误区 1．列举基本事件时易漏掉或重复． 2．判断一个事件是否是古典概型易出错． 1．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A、B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. C　[本题主要考查了古典概型，从集合A、B中任取一个数的所有情况有：(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)共6种，和为4的有(2,2)、(3,1)共2种，则所求概率为P＝＝.] 2．从0,1,2,3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为(　　) A. B. C. D. D　[能组成的两位数有10,12,13,20,21,23,30,31,32，共9个，其中偶数有5个，故组成的两位数是偶数的概率为.] 3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　) A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 D　[将2名男同学分别记为x，y,3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)＝＝0.3.故选D.] 4．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________． 　[考虑B的位置关系，知道B只可能排三个位置，BEE恰是其中一种，因此P＝.] 5．先后掷两枚大小相同的骰子，求点数之和能被3整除的概率． [解]　先后抛掷两枚大小相同的骰子，样本空间为 Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共有36种不同的结果． 记“点数之和能被3整除”为事件A，则A＝{(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)}，共包含12个样本点，故P(A)＝＝. 11