5.1复数的概念及其几何意义-2020-2021学年高一数学同步精美课件（北师大版2019必修第二册）.pptx

复数的概念及其几何意义,授课教师：,温故知新,学习目标,1.掌握复数的有关概念，如虚数单位、实部、虚部、虚数、纯虚数；正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；（重点）2.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模、共轭复 数的概念；（重点）3.掌握复数的代数表示及其几何意义.（难点）,课文精讲,在数自身的发展中，求解方程是数系扩充的重要动力.比如，要使像2x=1这样的线性方程有解，就需要引进有理数；无理数与有理数构成实数.然而，即使实数也无法完全满足求解二次方程的需要.像x2=1这样一个简单的方程就没有实数解，因为任意实数的平方都不可能是负数.,复数的概念,课文精讲,为此，人们开始引进一个新数i，叫作虚数单位，并规定:(1)它的平方等于-1，即i2=1；(2)实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.,复数的概念,课文精讲,形如a+bi(其中a，bR)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z=a+bi(a，bR)，其a称为复数z的实部，记作Re z，b称为复数z的虚部，记作Im z.对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b0时，叫作虚数；当a=0且b0叫作纯虚数.,复数的概念,课文精讲,例如，3+4i是复数，实部是3，虚部是4；虚数-0.5i的实部是0，虚部是-0.5；3可以看作实部是3，虚部是0的复数.,复数的概念,课文精讲,根据复数中a，b 的取值不同，复数可以有以下的分类：,复数的概念,复数a+bi(a，bR),实数(b=0)；虚数(b0).(当a=0时为 纯虚数),全体复数构成的集合称为复数集，记作C，显然R C.,课文精讲,写出自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R和复数集C的关系，并用Venn图表示.,复数的概念,C,R,Q,Z,N,典型例题,例1：说出下列三个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出是否为纯虚数:(1)1-i；(2)i；(3)-7.,解：(1)1-i的实部与虚部分别是1和-1，它是 虚数，但不是纯虚数；,典型例题,例1：说出下列三个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出是否为纯虚数:(1)1-i；(2)i；(3)-7.,解：(2)i的实部与虚部分别是0和，它是虚数，而且是纯虚数；,典型例题,例1：说出下列三个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出是否为纯虚数:(1)1-i；(2)i；(3)-7.,解：(3)-7的实部与虚部分别是-7和0，它是实数.,课文精讲,两个复数a+bi 与c+di(a，b，c，dR)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即,复数的概念,a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.,应当注意，两个实数可以比较大小，但是两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或不相等.例如，2+i和3+i之间无大小可言.,典型例题,例2：设x，yR，(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i，求x，y的值.,解：由复数相等的定义，得,x+2=-3y-2x=y-1,解这个方程组，得,x=1y=-1,课文精讲,问题提出 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，可以用数轴上的点来表示实数.复数z=a+bi(a，bR)由实部a和虚部b两个实数确定，复数有什么几何意义呢?,复数的几何意义,课文精讲,分析理解 任何一个复数z=a+bi(a，bR)，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点(a，b)一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集是一一对应的.,复数的几何意义,课文精讲,分析理解 如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a，b R)可以用点Z(a，b)表示.这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴.,复数的几何意义,课文精讲,分析理解 显然，实轴的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.,复数的几何意义,课文精讲,分析理解 因此，复数z=a+bi与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的，即,复数的几何意义,复数z=a+bi 复平面内的点Z(a，b),这是复数的一种几何意义.,一一对应,课文精讲,例如，复平面内的原点(0，0)表示复数0，实轴上的点(3，0)表示复数3，虚轴上的(0，-1)表示复数-i，点(-3，2)表示复数-3+2i等.,复数的几何意义,课文精讲,在平面直角坐标系中，平面向量与有序实数对一一对应，而有序实数对与复数也是一一对应的.于是，还可以用平面向量来表示复数.,复数的几何意义,课文精讲,如图，复数z=a+bi(a，bR)与复平面内的向量=(a，b)也是一一对应的，即,复数的几何意义,复数z=a+bi 平面向量,一一对应,这是复数的另一种几何意义.,课文精讲,向量 的模称为复数的模，记作|z|或|a+bi|.由向量模的定义可知，|z|=|a+bi|=+.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数，它的模等于|z|=+=|a|(a的绝对值).,复数的几何意义,课文精讲,虽然两个复数一般不能比较大小，但它们的模是非负实数，可以比较大小.,复数的几何意义,典型例题,例3：在复平面内，表示下列复数的点Z的集合是什么图形？(1)|z|=2；(2)2|z|3.,解：(1)复数z的模等于2表明，向量 的模等于2，即点Z到原点O的距离等于2，因此满足条件|z|=2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆(如图(1).,典型例题,例3：在复平面内，表示下列复数的点Z的集合是什么图形？(1)|z|=2；(2)2|z|3.,解：(2)不等式2|z|3可以化为不等式组,|z|3，|z|2.,典型例题,例3：在复平面内，表示下列复数的点Z的集合是什么图形？(1)|z|=2；(2)2|z|3.,解：(2)满足|z|3的点Z的集合是以原点O为圆心、以3为半径的圆及其内部所有的点构成的集合；满足|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心、以2为半径的圆及其外部所有的点构成的集合.,典型例题,例3：在复平面内，表示下列复数的点Z的集合是什么图形？(1)|z|=2；(2)2|z|3.,解：(2)因此，满足2|z|3的点Z的集合是这两个集合的交集，即以原点O为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.,典型例题,例3：在复平面内，表示下列复数的点Z的集合是什么图形？(1)|z|=2；(2)2|z|3.,解：(2)如图(2).,课文精讲,若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用 表示当z=a+bi(a，bR)时，=a-bi.显然，在复平面内，表示两个共扼复数的点关于实轴对称(如图)，并且它们的模相等.,课文精讲,另外，当复数z=a+bi的虚部b=0时，有z=.也就是说，任意一个实数的共扼复数仍是它本身，反之亦然.,课文精讲,例4：在复平面内作出表示下列复数的点，并分别求出它们的模和共轭复数：(1)z1=3-2i；(2)z2=1+i.,解：在复平面内作图如图.(1)|z1|=|3-2i|=+=，=3+2i；,课文精讲,例4：在复平面内作出表示下列复数的点，并分别求出它们的模和共轭复数：(1)z1=3-2i；(2)z2=-1+i.,解：在复平面内作图如图.(2)|z2|=|-1+i|=+=2，=-1-i.,综合练习,若复数z=（m+1）+（2-m）i（mR）是纯虚数，则m=_.,解：复数z=（m+1）+（2-m）i（mR）是纯虚数，则m+1=0，解得m=-1 故答案为：-1.,-1,综合练习,已知z=1-i，则z的共轭复数_.,解：z=1-i，则z的共轭复数：1+i故答案为：1+i.,1+i,本课小结,再 见,