5.1导数的概念（第2课时）导数的几何意义（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）.pptx

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册）,第 5 章导数及其应用,5.1导数的概念（第2课时）导数的几何意义,导数的几何意义上一小节谈到，研究物体变速运动时，我们把时间分成若干个小时间段，计算每个小时间段中物体的平均速度，借以近似地描述物体的运动状况当时间段的划分越来越细时，对运动的描述就越来越精确特别地，在一个时间点周边的时间段越来越小时，如果平均速度趋近于一个稳定值，这个稳定值就是物体运动在这个时间点的瞬时速度 在几何学中有类似的情境：为了研究一条曲线的特性，我们可以把曲线划分成小段，把连接每一小段两端点的线段看作曲线的这个小片段的近似，当曲线的划分越来越细时，用这些小线段连接起来的折线就越来越接近于原来的曲线,我们把连接曲线上任意两点的直线称为这条曲线的一条割线如图-，给定曲线上的一点P，考虑以点P为端点的一条小曲线段 和割线PQ像平均速度趋近于瞬时速度那样，当曲线段 取得越来越短，即让点Q越来越靠近点P时，如果割线PQ趋近于一条确定的直线，我们就将这条直线称为曲线在点P处的切线就像瞬时速度是运动在给定时刻的最好描述一样，可以想象，切线是曲线在点P附近性质的最好描述,切线这个术语并不陌生，我们在平面几何的学习中定义过圆的切线，并讨论过它的性质那里定义的圆的切线是否与这个新定义一致呢？例 如图-，曲线 是圆 在x轴及其上方的部分，点P（，）和Q（，）是该曲线上的点（）求割线PQ的斜率；（）对正整数n，令 在该曲线上取一系列点 借助现代信息技术，适当地计算一些割线 的斜率，观察并总结当n逐渐增大时，割线 的斜率的变化趋势,解（）割线PQ的斜率是（）割线 的斜率是借助计算器或计算机可以得到表-中关于 的近似计算结果（精确到）：观察表 可知，当n逐渐增大时，割线 的斜率逐渐减小，并趋近于,由例可以看出，根据现在的定义，曲线在点P（，）处的切线的斜率是，容易求得它的一般式方程是xy又因为平面几何所定义的切线垂直于过切点的半径，即向量（，）是切线的法向量，所以用点法式求出切线的方程也是xy即对于圆来说，两个切线的定义一致.对于任意曲线yf（x），如何从定义出发求它在点 P 处的切线？例给我们的第一个启示是先求切线的斜率其实，例还可以进一步揭示斜率的求法：如果记 则,其中 当n增大时，的稳定值就是这个方法适用于一般情况如图-，在曲线上点P 的附近取 一 点 割 线 PQ 的 斜 率 就是函数yf（x）在以X和Xh为端点的区间上的平均变化率。如果当点Q 沿曲线趋近于点P 时，割线PQ的斜率趋近于某一稳定值，那么这个稳定值就是也就是函数yf（x）在X=X处的瞬时变化率 因此，函数yf（x）在X=X处的导数）就是曲线yf（x）在点P处切线的斜率因此，函数yf（x）在点P 处的切线方程为,例4 已知 求曲线 在点P（，）处的切线方程 先求曲线yf（x）在点P（，）处切线的斜率f（）：当h时，从而当h趋近于时，因此，曲线yf（x）在点P（，）处切线的斜率为于是，所求切线方程为即,例 已知 求曲线yf（x）在点P（，）处的切线方程解 先求曲线yf（x）在点P（，）处切线的斜率f（）：当h时，从而当h趋近于时，因此，曲线 在点P（，）处的切线斜率为零，此时曲线的切线是一条水平直线 通常，我们将导数为零的点称为函数的驻点，曲线在其驻点处的切线是水平直线,课本练习,练习（2）已知 分别求曲线yf（x）在点P（，）和点Q（，）处的切线方程借助函数图像，判断下列导数的正负（可利用信息技术工具）：,习题A组自由落体运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）满足函数关系（g为常数）（）分别求，、，、，时间段内的平均速度；（）求t秒时的瞬时速度；（）求ta（a）秒时的瞬时速度；（）借助（）的结果，求t 秒时的瞬时速度竖直向上发射的火箭熄火时向上速度达到米秒，此后位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）近似满足函数关系（）分别求，、，时间段内火箭的平均速度；（）求t秒时火箭的瞬时速度；（）熄火后多长时间火箭向上速度为？,某水管的流水量y（单位：立方米）与时间x（单位：秒）满足函数关系yf（x）x（）求f（x）在xa处的导数f（a）；（）f（a）的实际意义是什么？（）随着a的取值变化，f（a）是否发生了变化？为什么？石子投入水中，水面产生的圆形波纹区域不断扩散计算：（）当半径r从a增加到ah（h）时，圆面积相对于半径的平均变化率；（）当半径ra时，圆面积相对于半径的瞬时变化率函数yf（x）的图像如图所示（）求割线PQ的斜率；（）当点Q沿曲线向点P 运动时，割线PQ的斜率会变大还是变小？,已知 求曲线yf（x）在下列各点处的切线斜率，并说说这些斜率的值是如何变化的借助函数图像，判断下列导数的正负,B组已知车轮旋转的角度和时间（单位：秒）的平方成正比，且车辆启动后车轮转动第一圈需要秒（）求车轮转动前秒的平均角速度；（）求转动开始后第秒的瞬时角速度 根据导数的几何意义，求函数 在下列各点处的导数：（）x；（）x；（）x 已知函数yf（x）在x处的切线方程为yx，求f（）和f（）如图，直线l是曲线yf（x）在x处的切线，求f（）,