5.1.1数列的概念 同步练习2020-2021学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第三册第五章数列.doc

数列的概念 一、选择题 1．下面有四个结论，其中叙述正确的有(　　) ①数列的通项公式是唯一的；　②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；　③数列若用图像表示，它是一群孤立的点；　④每个数列都有通项公式． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于(　　) A．70 B．28 C．20 D．8 3．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 4．观察数列2,5,10,17，x,37，…的特点，则x等于(　　) A．24 B．25 C．26 D．27 二、填空题 5．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，________，3，，…. 6．数列11,103,1 005,10 007，…的一个通项公式是________． 7．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3为此数列的第________项． 三、解答题 8．写出下面各数列的一个通项公式． (1)，，，，，…； (2)－1，，－，，－，，…； (3)6,66,666,6 666，…. 9．已知数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2. (1)－60是否为这个数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由； (2)当n分别为何值时，an＝0，an>0； (3)当n为何值时，an取得最大值？并求出最大值． 10．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，3) C．(－∞，2) D．(－∞，3] 1．解析：①数列的通项公式不唯一，错误，②正确，③正确，④数列不一定有通项公式． 答案：B 2．解析：由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20. 答案：C 3．解析：an＝＝1－， 当n≥2时，an－an－1＝1－－＝－＝>0，所以{an}是递增数列． 答案：A 4．解析：将数列变形为12＋1,22＋1,32＋1,42＋1，…，于是可得已知数列的一个通项公式为an＝n2＋1(n∈N＋)，当n＝5时，a5＝52＋1＝26，故x＝26. 答案：C 5．解析：由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为. 答案： 6．解析：a1＝10＋1＝101＋1， a2＝100＋3＝102＋(2×2－1)， a3＝1 000＋5＝103＋(2×3－1)， … 所以an＝10n＋2n－1. 答案：an＝10n＋2n－1. 7．解析：令an＝n2－8n＋15＝3，即n2－8n＋12＝0，解得n＝2或6. 答案：2或6 8．解析：(1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为21,22,23,24,25，所以它的一个通项公式为an＝. (2)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1,2,3,4,5,6，分子依次为1,3,1,3,1,3，所以它的一个通项公式为an＝ (3)这个数列的前4项可写为(10－1)，(102－1)，(103－1)，(104－1)，所以它的一个通项公式为an＝(10n－1)． 9．解析：(1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0， 解得n＝10或n＝－9(舍去)， ∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60. (2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0， 解得n＝6或n＝－5(舍去)， 即当n＝6时，an＝0. 令30＋n－n2>0，即n2－n－30<0， 解得－5<n<6. 又n∈N＋， ∴当n＝1,2,3,4,5时，an>0. (3)an＝30＋n－n2＝－2＋， ∵n∈N＋，∴当n＝1时，an取得最大值，最大值为30. 10．解析：an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可． 答案：B