四川省米易中学2023学年高三下学期联合考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，，则的子集共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，集合，则（ ）. A． B． C． D． 5．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（ ） A． B． C． D． 6．在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 7．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A． B． C． D． 8．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数 9．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．公比为2的等比数列中存在两项，，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 11．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ） A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省 B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长 C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个 D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元 12．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）． A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知集合，.若，则实数a的值是______. 14．已知实数 满足，则的最大值为________. 15．函数的定义域为_____________. 16．函数过定点________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且的最小值为，求实数t的值. 18．（12分）已知椭圆过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为. （1）求椭圆C的标准方程： （2）设A是椭圆的左顶点，过右焦点F的直线，与椭圆交于P，Q，直线AP，AQ与直线 交于M，N，线段MN的中点为E. ①求证：； ②记，，的面积分别为、、，求证：为定值. 19．（12分）设函数. （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）若函数有两个极值点，求证：. 20．（12分）在，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求的值； （2）若，边上的中线，求的面积. 21．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点且倾斜角为. （1）求曲线的极坐标方程和直线的参数方程； （2）已知直线与曲线交于，满足为的中点，求. 22．（10分）在中， 角，，的对边分别为， 其中， . （1）求角的值； （2）若，，为边上的任意一点，求的最小值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由可得；由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解. 【题目详解】 ,所以离心率, 又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有, 而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即, 所以,所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选:B 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用. 2、B 【答案解析】 根据集合中的元素，可得集合，然后根据交集的概念，可得，最后根据子集的概念，利用计算，可得结果. 【题目详解】 由题可知：， 当时， 当时， 当时， 当时， 所以集合 则 所以的子集共有 故选：B 【答案点睛】 本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合中有元素时，集合子集的个数为，真子集个数为，非空子集为，非空真子集为，属基础题. 3、D 【答案解析】 利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可. 【题目详解】 在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为， 矩形中位于曲线上方区域的面积为， 矩形的面积为， 由几何概型的概率公式得，所以，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 4、A 【答案解析】 算出集合A、B及，再求补集即可. 【题目详解】 由，得，所以，又， 所以，故或. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 5、B 【答案解析】 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【题目详解】 如图所示： 确定一个平面， 因为平面平面， 所以，同理， 所以四边形是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为， 所以， 即 所以 由余弦定理得： 所以 所以四边形 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 6、A 【答案解析】 根据题意，用表示出与，求出的值即可. 【题目详解】 解：根据题意，设，则 ， 又， ， ， 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题. 7、D 【答案解析】 分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值. 【题目详解】 设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养. 8、A 【答案解析】 通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变. 【题目详解】 由题可知，中位数和众数、平均数都有变化. 本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变， 根据方差公式可知方差不变. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9、C 【答案解析】 根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围. 【题目详解】 当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大. 此时椭圆长轴长为，短轴长为6， 所以椭圆离心率， 所以. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题. 10、D 【答案解析】 根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解. 【题目详解】 ， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 最小值为. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题. 11、D 【答案解析】 根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可. 【题目详解】 由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；. 故D项不正确. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题. 12、A 【答案解析】 作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可. 【题目详解】 根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且，， 平面，且， ∴，，，， ∴这个四棱锥中最长棱的长度是． 故选． 【答案点睛】 本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、9 【答案解析】 根据集合交集的定义即得. 【题目详解】 集合，，， ，则a的值是9. 故答案为：9 【答案点睛】 本题考查集合的交集，是基础题. 14、 【答案解析】 作出不等式组所表示的平面区域，将目标函数看作点与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过时，直线的斜率取得最大值，代入点A的坐标可得答案. 【题目详解】 画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由得点， 目标函数表示点与可行域的点所构成的直线的斜率， 当直线过时，直线的斜率取得最大值，此时的最大值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题. 15、 【答案解析】 由题意可得，，解不等式可求． 【题目详解】 解：由题意可得，， 解可得，， 故答案为． 【答案点睛】 本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题． 16、 【答案解析】 令，，与参数无关，即可得到定点. 【题目详解】 由指数函数的性质，可得，函数值与参数无关， 所有过定点. 故答案为： 【答案点睛】 此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、t＝1 【答案解析】 把变形为结合基本不等式进行求解. 【题目详解】 因为 即，当且仅当，，时，上述等号成立， 所以，即，又x，y，z＞0，所以x+y+z=t＝1． 【答案点睛】 本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立，侧重考查数学运算的核心素养. 18、（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析 【答案解析】 （1）解方程即可； （2）①设直线，，，将点的坐标用表示，证明即可；②分别用表示，，的面积即可. 【题目详解】 （1） 解之得： 的标准方程为： （2）①， ， 设直线 代入椭圆方程： 设，， ， 直线，直线 ， ，，，，. ②， 所以. 【答案点睛】 本题