2016年内蒙古包头市中考数学（word版有解析）.doc

2016年内蒙古包头市中考数学试卷 　 一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分。 1．若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为（　　） A．﹣1 B．﹣ C．﹣5 D． 【解析】∵2（a+3）的值与4互为相反数， ∴2（a+3）+4=0， ∴a=﹣5， 故选C 2．下列计算结果正确的是（　　） A．2+=2 B． =2 C．（﹣2a2）3=﹣6a6 D．（a+1）2=a2+1 【解析】A、2+不是同类二次根式，所以不能合并，所以A错误； B、=2，所以B正确； C、（﹣2a2）3=﹣8a6≠﹣6a6，所以C错误； D、（a+1）2=a2+2a+1≠a2+1，所以D错误． 故选B 3．不等式﹣≤1的解集是（　　） A．x≤4 B．x≥4 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 【解析】去分母，得：3x﹣2（x﹣1）≤6， 去括号，得：3x﹣2x+2≤6， 移项、合并，得：x≤4， 故选：A． 4．一组数据2，3，5，4，4，6的中位数和平均数分别是（　　） A．4.5和4 B．4和4 C．4和4.8 D．5和4 【解析】这组数据按从小到大的顺序排列为：2，3，4，4，5，6， 故中位数为：（4+4）÷2=4； 平均数为：（2+3+4+4+5+6）÷6=4． 故选：B． 5．120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（　　） A．3 B．4 C．9 D．18 【解析】根据弧长的公式l=，得到：6π=，解得r=9． 故选C． 6．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（　　） A． B． C． D． 【解析】由题意可得，所有的可能性为： ∴至少有两枚硬币正面向上的概率是： =，故选D． 7．若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（　　） A．﹣ B． C．﹣或 D．1 【解析】由根与系数的关系可得：x1+x2=﹣（m+1），x1•x2=， 又知个实数根的倒数恰是它本身， 则该实根为1或﹣1， 若是1时，即1+x2=﹣（m+1），而x2=，解得m=﹣； 若是﹣1时，则m=． 故选：C． 8．化简（）•ab，其结果是（　　） A． B． C． D． 【解析】原式=••ab=，故选B 9．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【解析】∵点O到△ABC三边的距离相等， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣2（∠OBC+∠OCB）=180°﹣2×=180°﹣2×=60°， ∴tanA=tan60°=， 故选A． 10．已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0=1；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解析】当a=0，b=﹣1时，a2＜b2，所以命题“若a＞b，则a2＞b2”为假命题，其逆命题为若a2＞b2；，则a＞b“，此逆命题也是假命题，如a=﹣2，b=﹣1； 若a＞1，则（a﹣1）0=1，此命题为真命题，它的逆命题为：若（a﹣1）0=1，则a＞1，此逆命题为假命题，因为（a﹣1）0=1，则a≠1； 两个全等的三角形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题； 四条边相等的四边形是菱形，这个命题为真命题，它的逆命题为菱形的四条边相等，此逆命题为真命题． 故选D． 11．如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（　　） A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0） 【解析】作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示． 令y=x+4中x=0，则y=4， ∴点B的坐标为（0，4）； 令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6， ∴点A的坐标为（﹣6，0）． ∵点C、D分别为线段AB、OB的中点， ∴点C（﹣3，2），点D（0，2）． ∵点D′和点D关于x轴对称， ∴点D′的坐标为（0，﹣2）． 设直线CD′的解析式为y=kx+b， ∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2）， ∴有，解得：， ∴直线CD′的解析式为y=﹣x﹣2． 令y=﹣x﹣2中y=0，则0=﹣x﹣2，解得：x=﹣， ∴点P的坐标为（﹣，0）． 故选C． 12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（　　） A．CE=DE B．CE=DE C．CE=3DE D．CE=2DE 【解析】过点D作DH⊥BC， ∵AD=1，BC=2， ∴CH=1， DH=AB===2， ∵AD∥BC，∠ABC=90°， ∴∠A=90°， ∵DE⊥CE， ∴∠AED+∠BEC=90°， ∵∠AED+∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠BEC， ∴△ADE∽△BEC， ∴， 设BE=x，则AE=2， 即， 解得x=， ∴， ∴CE=， 故选B． 二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分 13．据统计，2015年，我国发明专利申请受理量达1102000件，连续5年居世界首位，将1102000用科学记数法表示为　1.102×106　． 【解析】将1102000用科学记数法表示为 1.102×106， 故答案为：1.102×106． 14．若2x﹣3y﹣1=0，则5﹣4x+6y的值为　3　． 【解析】∵2x﹣3y﹣1=0， ∴2x﹣3y=1， ∴5﹣4x+6y=5﹣2（2x﹣3y） =5﹣2×1 =3． 故答案为：3． 15．计算：6﹣（+1）2=　﹣4　． 【解析】原式=6×﹣（3+2+1） =2﹣4﹣2 =﹣4． 故答案为：﹣4． 16．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为　2　． 【解析】平均数为=（1+2+3+4+5）÷5=3， S2= [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2． 故答案为：2． 17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=　22.5　度． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OA=OB═OC， ∴∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA， ∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC， ∵∠EAC=2∠CAD， ∴∠EAO=∠AOE， ∵AE⊥BD， ∴∠AEO=90°， ∴∠AOE=45°， ∴∠OAB=∠OBA==67.5°， ∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°． 故答案为22.5°． 18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为　　． 【解析】∵OA=OC，∠A=30°， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COB=∠A+∠ACO=60°， ∵PC是⊙O切线， ∴∠PCO=90°，∠P=30°， ∵PC=3， ∴OC=PC•tan30°=，PC=2OC=2， ∴PB=PO﹣OB=， 故答案为． 19．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB=30°，AB=BO，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A，若S△ABO=，则k的值为　﹣3　． 【解析】过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示． ∵∠AOB=30°，AD⊥OD， ∴=tan∠AOB=， ∴设点A的坐标为（﹣3a， a）． ∵S△ABO=OB•AD=， ∴OB=． 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=a，AB=OB=， ∴BD2=AB2﹣AD2=﹣3a2，BD=． ∵OD=OB+BD=3a，即3a=+， 解得：a=1或a=﹣1（舍去）． ∴点A的坐标为（﹣3，）， ∴k=﹣3×=﹣3． 故答案为：﹣3． 20．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G．下列结论： ①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若BD=2DC，则GF=2EG．其中正确的结论是　①②③④　．（填写所有正确结论的序号） 【解析】①正确．∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°， ∵DE=DC， ∴△DEC是等边三角形， ∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°， ∵EF=AE， ∴△AEF是等边三角形， ∴AF=AE，∠EAF=60°， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF，故①正确． ②正确．∵∠ABC=∠FDC， ∴AB∥DF， ∵∠EAF=∠ACB=60°， ∴AB∥AF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB=BC，故②正确． ③正确．∵△ABE≌△ACF， ∴BE=CF，S△ABE=S△AFC， 在△BCE和△FDC中， ， ∴△BCE≌△FDC， ∴S△BCE=S△FDC， ∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=S△ACF+S△BCE=S△ABC=S△ACF+S△DCF，故③正确． ④正确．∵△BCE≌△FDC， ∴∠DBE=∠EFG，∵∠BED=∠FEG， ∴△BDE∽△FGE，∴=，∴=， ∵BD=2DC，DC=DE，∴=2， ∴FG=2EG．故④正确． 　 三、解答题：本大题共有6小题，共60分。 21．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为． （1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答） （2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答） 【解】（1）设袋子中白球有x个， 根据题意得： =，解得：x=2， 经检验，x=2是原分式方程的解， ∴袋子中白球有2个； （2）画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况， ∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：． 22．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E． （1）若∠A=60°，求BC的长； （2）若sinA=，求AD的长． （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 【解】（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=， ∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6， 又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°， ∴CE==8， ∴BC=BE﹣CE=6﹣8； （2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==， ∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x， ∴3x=6，得x=2， ∴BE=8，AE=10， ∴tanE====， 解得，DE=， ∴AD=AE﹣DE=10﹣=， 即AD的长是． 23．一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度． 【解】（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm， ∴y=20×x+2×12•x﹣2×x•x=﹣3x2+54x， 即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x； （2）根据题意，得：﹣3x2+54x=×20×12， 整理，得：x2﹣18x+32=0， 解得：x1=2，x2=16（舍）， ∴x=3， 答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm． 24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F． （1）求证：AE=BF； （2）连接GB，EF，求证：GB∥EF； （3）若AE=1，EB=2，求DG的长． （1）证明：连接BD， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC， ∴∠A=∠C=45°， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB=90°，即BD⊥AC， ∴AD=DC=BD=AC，∠CBD=∠C=45°， ∴∠A=∠FBD， ∵DF⊥DG， ∴∠FDG=90°， ∴∠FDB+∠BDG=90°， ∵∠EDA+∠BDG=90°， ∴∠EDA=∠FDB， 在△AED和△BFD中， ， ∴△AED≌△BFD（ASA）， ∴AE=BF； （2）证明：连接EF，BG， ∵△AED≌△BFD， ∴DE=DF， ∵∠EDF=90°， ∴△EDF是等腰直角三角形， ∴∠DEF=45°， ∵∠G=∠A=45°， ∴∠G=∠DEF， ∴GB∥EF； （3）∵AE=BF，AE=1， ∴BF=1， 在Rt△EBF中，∠EBF=90°， ∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2， ∵EB=2，BF=1， ∴EF==， ∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°， ∴cos∠DEF=， ∵EF=， ∴DE=×=， ∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED， ∴△GEB∽△AED， ∴=，即GE•ED=AE•EB， ∴•GE=2，即GE=， 则GD=GE+ED=． 25．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF． （1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF，求AE的长； （2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA． ①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论； ②求EF的长； （3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=，求的值． 【解】（1）如图①， ∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处， ∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF≌S△DEF， ∵S四边形ECBF=3S△EDF，∴S△ABC=4S△AEF， 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5， ∵∠EAF=∠BAC，∴Rt△AEF∽Rt△ABC， ∴=（）2，即（）2=，∴AE=； （2）①四边形AEMF为菱形．理由如下： 如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处， ∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE， ∵MF∥AC，∴∠AEF=∠MFE，∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF，∴AE=EM=MF=AF， ∴四边形AEMF为菱形； ②连结AM交EF于点O，如图②， 设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x， ∵四边形AEMF为菱形， ∴EM∥AB， ∴△CME∽△CBA， ∴==，即==，解得x=，CM=， 在Rt△ACM中，AM===， ∵S菱形AEMF=EF•AM=AE•CM，∴EF=2×=； （3）如图③，作FH⊥BC于H， ∵EC∥FH，∴△NCE∽△NFH， ∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，∴FH：NH=4：7， 设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x， ∵FH∥AC，∴△BFH∽△BAC， ∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x=， ∴FH=4x=，BH=4﹣7x=， 在Rt△BFH中，BF==2， ∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3， ∴=． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC． （1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式； （2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积； （3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？ （4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解】（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点， ∴∴， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣2）2+； （2）如图1， 过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G， 由（1）有，C（0，﹣2）， ∵B（0，3），∴直线BC解析式为y=x﹣2， ∵H（1，y）在直线BC上，∴y=﹣， ∴H（1，﹣）， ∵B（3，0），E（0，﹣1），∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1， ∴G（1，﹣），∴GH=， ∵直线BE：y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+x﹣2相较于F，B， ∴F（，﹣）， ∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|=GH×|xB﹣xF|=××（3﹣）=． （3）如图2， 由（1）有y=﹣x2+x﹣2， ∵D为抛物线的顶点， ∴D（2，）， ∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动， ∴设M（2，m），（m＞）， ∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9， ∵∠OMB=90°， ∴OM2+BM2=AB2， ∴m2+4+m2+1=9， ∴m=或m=﹣（舍）， ∴M（0，）， ∴MD=﹣， ∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动， ∴t=﹣； （4）存在点P，使∠PBF被BA平分， 如图3， ∴∠PBO=∠EBO， ∵E（0，﹣1）， ∴在y轴上取一点N（0，1）， ∵B（3，0）， ∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①， ∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上， 联立①②得，或（舍），∴P（，）， 故在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）． 第 15 页