2017年甘肃省兰州市中考数学（word版有解析）.docx

2017年甘肃省兰州市中考数学试卷 　 一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。） 1．已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　） A．= B．= C．= D．= 【解析】A、两边都除以2y，得=，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得=，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选：A．　 2．如图所示，该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【解析】在三视图中，实际存在而被遮挡的线用虚线表示，故选：D． 3．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（　　） A． B． C． D． 【解析】如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=130m，BC=50m， ∴AC===120m，∴tan∠BAC===，故选C． 4．如图，在⊙O中，AB=BC，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【解析】∵在⊙O中，=，点D在⊙O上，∠CDB=25°， ∴∠AOB=2∠CDB=50°．故选B． 5．下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（　　） A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 【解析】观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，故选C 6．如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么是实数m的取值为（　　） A．m＞ B．m C．m= D．m= 【解析】∵一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根， ∴△=32﹣4×2m=9﹣8m=0，解得：m=．故选C．　 7．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 【解析】根据题意得=30%，解得n=30， 所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．故选D． 8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=（ ） A．5 B．4 C．3.5 D．3 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°， ∵∠ADB=30°，∴AC=BD=2AB=8，∴OC=AC=4；故选：B．　 9．抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（　　） A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2 C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣6 【解析】y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为y=3（x﹣3）2﹣3，故选：A． 10．王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（　　） A．（80﹣x）（70﹣x）=3000 B．80×70﹣4x2=3000 C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000 D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=3000 【解析】由题意可得，（80﹣2x）（70﹣2x）=3000，故选C． 11．如图，反比例函数y=（k＜0）与一次函数y=x+4的图象交于A、B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1．则关于x的不等式＜x+4（x＜0）的解集为（　　） A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．x＜﹣3或﹣1＜x＜0 【解析】∵反比例函数y=（k＜0）与一次函数y=x+4的图象交于A点的横坐标为﹣3，∴点A的纵坐标y=﹣3+4=1，∴k=xy=﹣3， ∴关于x的不等式＜x+4（x＜0）的解集即不等式﹣＜x+4（x＜0）的解集， 观察图象可知，当﹣3＜x＜﹣1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， ∴关于x的不等式＜x+4（x＜0）的解集为：﹣3＜x＜﹣1．故选B． 12．如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2 【解析】连接AO，DO，∵ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，AD==2， 圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积=[4π﹣（2）2]=（π﹣2）cm2．故选D． 13．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为（　　） A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米 【解析】由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，∴△ACG∽△FEG， ∴=，∴=，∴AC=8，∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．故选A． 14．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（　　） A． B． C． D． 【解析】作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延长线于H．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．∵∠DG′F′=∠IGR=90°，∴∠DG′I=∠RG′F′， 在△G′ID和△G′RF中，，∴△G′ID≌△G′RF， ∴∠G′ID=∠G′RF′=90°，∴点F在线段BC上， 在Rt△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F′H=30°，∴E′H=E′F′=1，F′H=， 易证△RG′F′≌△HF′E′，∴RF′=E′H，RG′RC=F′H，∴CH=RF′=E′H，∴CE′=， ∵RG′=HF′=，∴CG′=RG′=，∴CE′+CG′=+．故选A． 15．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（　　） A． B．5 C．6 D． 【解析】若点E在BC上时，如图 ∵∠EFC+∠AEB=90°，∠FEC+∠EFC=90°， ∴∠CFE=∠AEB，∵在△CFE和△BEA中，，∴△CFE∽△BEA， 由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时=，BE=CE=x﹣，即，∴y=，当y=时，代入方程式解得：x1=（舍去），x2=，∴BE=CE=1，∴BC=2，AB=，∴矩形ABCD的面积为2×=5；故选B． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 16.（4分）若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则k的值是_____． 【解析】∵图象经过点（﹣1，2），∴k=xy=﹣1×2=﹣2．故答案为：﹣2． 17．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，=，则=____． 【解析】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC， ∴==，∴==．故答案为：． 18．如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为__________． 【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称， ∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，∴Q点的坐标为：（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）．　 19．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是_________． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形， 又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确； ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD， ∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误； ∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形， 又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，③正确； ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形， 又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴平行四边形ABCD是正方形，④正确； 故答案为：①③④． 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2）．动点P在直线y=x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与▱ABCO的边相切时，P点的坐标为_________________． 【解析】①当⊙P与BC相切时，∵动点P在直线y=x上， ∴P与O重合，此时圆心P到BC的距离为OB，∴P（0，0）． ②如图1中，当⊙P与OC相切时，则OP=BP，△OPB是等腰三角形，作PE⊥y轴于E，则EB=EO，易知P的纵坐标为1，可得P（，1）． ③如图2中，当⊙P与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离线段，可得=x，解得x=3+或3﹣， ∵x=3+＞OA，∴P不会与OA相切，∴x=3+不合题意， ∴p（3﹣，）． ④如图3中，当⊙P与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G，此时PB=PG， ∵OP⊥AB，∴∠BGP=∠PBG=90°不成立，∴此种情形，不存在P． 综上所述，满足条件的P的坐标为（0，0）或（，1）或（3﹣，）． 三、解答题（共8小题，满分70分.解答时，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 21．（10分）计算：（﹣3）0+（﹣）﹣2﹣|﹣2|﹣2cos60°． 【解】（﹣3）0+（﹣）﹣2﹣|﹣2|﹣2cos60°=1+4﹣2﹣2×=2． 22．（6分）在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P 求作：直线l的垂线，使它经过点P． 作法：如图：（1）在直线l上任取两点A、B； （2）分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q； （3）作直线PQ． 参考以上材料作图的方法，解决以下问题： （1）以上材料作图的依据是：____________________________ （3）已知，直线l和l外一点P， 求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 【解】（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； （2）如图 23．（7分）甘肃省省府兰州，又名金城，在金城，黄河母亲河通过自身文化的演绎，衍生和流传了独特的“金城八宝”美食，城八宝”美食中甜品类有：味甜汤糊“灰豆子”、醇香软糯“甜胚子”、生津润肺“热冬果”、香甜什“金锦“八宝百合”；其他类有：青白红绿“牛肉面”、酸辣清凉“酿皮子”、清爽溜滑“浆水面”、香醇肥美“手抓羊肉”，李华和王涛同时去品尝美食，李华准备在“甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉”这四种美食中选择一种，王涛准备在“八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面”这四种美食中选择一种．（甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉分别记为A，B，C，D，八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面分别记为E，F，G，H） （1）用树状图或表格的方法表示李华和王涛同学选择美食的所有可能结果； （2）求李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的概率． 【解】（1）列表得： 李华 王涛 E F G H A AE AF AG AH B BE BF BG BH C CE CF CG CH D DE DF DG DH 由列表可知共有16种情况； （2）由（1）可知有16种情况，其中李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的情况有AE，AF，AG三种情况，所以李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的概率=． 24．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3交y轴于点A，交反比例函数y=（k＜0）的图象于点D，y=（k＜0）的图象过矩形OABC的顶点B，矩形OABC的面积为4，连接OD． （1）求反比例函数y=的表达式； （2）求△AOD的面积． 【解】（1）∵直线y=﹣x+3交y轴于点A，∴点A的坐标为（0，3），即OA=3， ∵矩形OABC的面积为4，∴AB=， ∵双曲线在第二象限，∴k=4，∴反比例函数的表达式为y=﹣； （2）解方程组，得，， ∵点D在第二象限，∴点D的坐标为（﹣1，4），∴△AOD的面积=×3×1=． 25．（8分）“兰州中山桥“位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥“之美誉．它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁．桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱桥． 小芸和小刚分别在桥面上的A，B两处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果精确到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93） 【解】过点C作CD⊥AB于D．设CD=x， 在Rt△ADC中，tan36°=，∴AD=， 在Rt△BCD中，tan∠B=，BD=，∴+=20， 解得x=8.179≈8.2m． 答：拱梁顶部C处到桥面的距离8.2m． 26．（10分）如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F． （1）求证：△BDF是等腰三角形； （2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O． ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由； ②若AB=6，AD=8，求FG的长． （1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠DBE=∠ADB，∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形； （2）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG， 又∵FD∥BG，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF=BF，∴四边形BFDG是菱形； ②∵AB=6，AD=8，∴BD=10．∴OB=BD=5．假设DF=BF=x，∴AF=AD﹣DF=8﹣x． ∴在直角△ABF中，AB2+A2=BF2，即62+（8﹣x）2=x2，解得x=，即BF=， ∴FO===，∴FG=2FO=． 27．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长． 【解】（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠BAF+∠FAC=90°， ∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°， ∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切线； （2）连接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△DCA， ∴，∴，∴AC=AE=， ∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴=，∴EF=． 28．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值． 【解】（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上， ∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4； （2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴， ∴直线AB的解析式为y=2x+4， 设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4）， ∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4， ∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）； （3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4）， ∵直线AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6）， 设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线， ∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6）， ∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）； ②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4）， ∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=， 连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=， ∴=，∵=，∴=，∵∠PEM=∠MEA， ∴△PEM∽△MEA，∴，∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC， 设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2， ∵PE=，∴5（p+2）2=，∴p=﹣或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去）， ∴P（﹣，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==， 即：AM+CM=． 第 15 页