2015年浙江省湖州市中考数学试题（全解全析）.doc

2015年浙江省湖州市中考数学试题 　 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2015•湖州）﹣5的绝对值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣ D． 　 2．（3分）（2015•湖州）当x=1时，代数式4﹣3x的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 　 3．（3分）（2015•湖州）4的算术平方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D． 　 4．（3分）（2015•湖州）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（　　） A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm 　 5．（3分）（2015•湖州）已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（　　） A．9 B．3 C． D． 　 6．（3分）（2015•湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（　　） A．10 B．7 C．5 D．4 　 7．（3分）（2015•湖州）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（　　） A． B． C． D． 　 8．（3分）（2015•湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（　　） A．4 B．2 C．8 D．4 　 9．（3分）（2015•湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（　　） A．CD+DF=4 B．CD﹣DF=2﹣3 C．BC+AB=2+4 D．BC﹣AB=2 　 10．（3分）（2015•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=（x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（　　） A．8 B．10 C．3 D．4 　 　 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（4分）（2015•湖州）计算：23×（）2=　　　　　　． 　 12．（4分）（2015•湖州）放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是　　　　　　千米/分钟． 　 13．（4分）（2015•湖州）在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情况下表所示： 评分（分） 80 85 90 95 评委人数 1 2 5 2 则这10位评委评分的平均数是　　　　　　分． 　 14．（4分）（2015•湖州）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于　　　　　　． 　 15．（4分）（2015•湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是　　　　　　和　　　　　　． 　 16．（4分）（2015•湖州）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是　　　　　　． 　 　 三、解答题（本题有8个小题，共66分） 该试题已被管理员删除 　 17．（6分）（2015•湖州）计算：． 　 18．（6分）（2015•湖州）解不等式组． 　 19．（6分）（2015•湖州）已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个一次函数的解析式． 　 20．（8分）（2015•湖州）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE． （1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长； （2）求证：ED是⊙O的切线． 　 21．（8分）（2015•湖州）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）： 选择意向 所占百分比 文学鉴赏 a 科学实验 35% 音乐舞蹈 b 手工编织 10% 其他 c 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数． 　 22．（10分）（2015•湖州）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件． （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数； （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数． 　 23．（10分）（2015•湖州）问题背景 已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点． （1）初步尝试 如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等． 求证：HF=AH+CF． 小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题： 思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证DH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立； 思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立． 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）； （2）类比探究 如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且D，E的运动速度之比是：1，求的值； （3）延伸拓展 如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E运动速度相等，试用含m的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程）． 　 24．（12分）（2015•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D． （1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣． ①求点D的坐标及该抛物线的解析式； ②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由； （2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围． 　 　 2015年浙江省湖州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2015•湖州）﹣5的绝对值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣ D． 【考点】绝对值． 【分析】根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案． 解：﹣5的绝对值为5， 故选：B． 【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 　 2．（3分）（2015•湖州）当x=1时，代数式4﹣3x的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】代数式求值． 【专题】计算题． 【分析】把x的值代入原式计算即可得到结果． 解：当x=1时，原式=4﹣3=1， 故选A． 【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 3．（3分）（2015•湖州）4的算术平方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D． 【考点】算术平方根． 【分析】根据开方运算，可得一个数的算术平方根． 解：4的算术平方根是2， 故选：B． 【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根． 　 4．（3分）（2015•湖州）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（　　） A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm 【考点】圆锥的计算． 【分析】利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径． 解：圆锥的弧长为：=24π， ∴圆锥的底面半径为24π÷2π=12， 故选C． 【点评】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长； 　 5．（3分）（2015•湖州）已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（　　） A．9 B．3 C． D． 【考点】标准差；方差． 【分析】根据标准差是方差的算术平方根，即可得出答案． 解：∵数据的方差是S2=3， ∴这组数据的标准差是； 故选D． 【点评】本题考查了标准差，关键是掌握标准差和方差的关系，标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数． 　 6．（3分）（2015•湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（　　） A．10 B．7 C．5 D．4 【考点】角平分线的性质． 【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可． 解：作EF⊥BC于F， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴EF=DE=2， ∴S△BCE=BC•EF=×5×2=5， 故选C． 【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键． 　 7．（3分）（2015•湖州）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可． 解：列表得： 黑 白 白 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） ∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种， ∴两次摸出的球都是黑球的概率为， 故选D． 【点评】本题考查了列表法与树状图法的知识，解决本题时采用了两个独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积，难度不大． 　 8．（3分）（2015•湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（　　） A．4 B．2 C．8 D．4 【考点】切线的性质． 【分析】连接OC，利用切线的性质知OC⊥AB，由垂径定理得AB=2AC，因为tan∠OAB=，易得=，代入得结果． 解：连接OC， ∵大圆的弦AB切小圆于点C， ∴OC⊥AB， ∴AB=2AC， ∵OD=2， ∴OC=2， ∵tan∠OAB=， ∴AC=4， ∴AB=8， 故选C． 【点评】本题主要考查了切线的性质和垂径定理，连接过切点的半径是解答此题的关键． 　 9．（3分）（2015•湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（　　） A．CD+DF=4 B．CD﹣DF=2﹣3 C．BC+AB=2+4 D．BC﹣AB=2 【考点】三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）． 【专题】压轴题． 【分析】设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b﹣c），所以c=a+b﹣2．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得（舍去），从而求出a，b的值，所以BC+AB=2+4．再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，从而得到CD﹣DF=，CD+DF=．即可解答． 解：如图， 设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N， ∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG， ∴OG=DG， ∵OG⊥DG， ∴∠MGO+∠DGC=90°， ∵∠MOG+∠MGO=90°， ∴∠MOG=∠DGC， 在△OMG和△GCD中， ∴△OMG≌△GCD， ∴OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2． ∵AB=CD， ∴BC﹣AB=2． 设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r， ⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b﹣c）， ∴c=a+b﹣2． 在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b﹣2）2， 整理得2ab﹣4a﹣4b+4=0， 又∵BC﹣AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4=0， 解得（舍去）， ∴， ∴BC+AB=2+4． 再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=， 由勾股定理可得， 解得x=4， ∴CD﹣DF=，CD+DF=． 综上只有选项A错误， 故选A． 【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质． 　 10．（3分）（2015•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=（x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（　　） A．8 B．10 C．3 D．4 【考点】反比例函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，设A（a，），C（b，），由△OAD∽△BCO，得到==，根据反比例函数的系数k的几何意义得到S△ADO=，S△BOC=，求出k2=，得到k=﹣，根据S△ABC=S△AOB+S△BOC=（﹣）•b+=6，列出关于k的方程k2+k﹣12=0，求得k=3，由于点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，得到OA′，OC′在同一条直线上，于是得到由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10． 解：过A作AD⊥x轴于D，连接OA′， ∵点A是函数y=（x＜0）图象上一点， ∴设A（a，）， ∵点C在函数y=（x＞0，k是不等于0的常数）的图象上， ∴设C（b，）， ∵AD⊥BD，BC⊥BD， ∴△OAD∽△BCO， ∴==， ∵S△ADO=，S△BOC=， ∴k2=， ∴k=﹣， ∵S△ABC=S△AOB+S△BOC=（﹣）•b+=6， ∴k2﹣=12， ∴k2+k﹣12=0， 解得：k=3，k=﹣4（不合题意舍去）， ∵点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°， ∴OA′，OC′在同一条直线上， ∴S△OBC′=S△OBC==， ∵S△OAA′=2S△OAD=1， ∴由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10． 故选B． 【点评】本题考查了反比例函数的图象的性质，系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，正确的理解轴对称图形的性质是解题的关键． 　 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（4分）（2015•湖州）计算：23×（）2=　　． 【考点】有理数的乘方；有理数的乘法． 【分析】根据有理数的乘方，即可解答． 解：23×（）2=8×=2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数乘方的定义． 　 12．（4分）（2015•湖州）放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是　　千米/分钟． 【考点】函数的图象． 【分析】根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得答案． 解：由纵坐标看出路程是2千米， 由横坐标看出时间是10分钟， 小明的骑车速度是2÷10=0.2（千米/分钟）， 故答案为：0.2． 【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，利用了路程与时间的关系． 　 13．（4分）（2015•湖州）在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情况下表所示： 评分（分） 80 85 90 95 评委人数 1 2 5 2 则这10位评委评分的平均数是　　分． 【考点】加权平均数． 【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数． 解：这10位评委评分的平均数是： （80+85×2+90×5+95×2）÷10=89（分）． 故答案为89． 【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求80，85，90，95这四个数的平均数，对平均数的理解不正确． 　 14．（4分）（2015•湖州）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于　　． 【考点】扇形面积的计算． 【分析】图中阴影部分的面积=半圆的面积﹣圆心角是120°的扇形的面积，根据扇形面积的计算公式计算即可求解． 解：图中阴影部分的面积=π×22﹣ =2π﹣π =π． 答：图中阴影部分的面积等于π． 故答案为：π． 【点评】考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 　 15．（4分）（2015•湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是　　和　　． 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】新定义． 【分析】连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx， 根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式． 解：连接AB， 根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零， 设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx， 根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM， ∵OA=MA， ∴△AOM是等边三角形， 设OM=2，则点A的坐标是（1，）， 则， 解得： 则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x， 抛物线C2的解析式为y=x2+2x， 故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x（答案不唯一）． 【点评】此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系． 　 16．（4分）（2015•湖州）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是　． 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】压轴题；规律型． 【分析】延长D4A和C1B交于O，根据正方形的性质和三角形相似的性质即可求得各个正方形的边长，从而得出规律，即可求得正方形A9C9C10D10的边长． 解：延长D4A和C1B交于O， ∵AB∥A2C1， ∴△AOB∽△D2OC2， ∴=， ∵AB=BC1=1，DC2=C1C2=2， ∴== ∴OC2=2OB， ∴OB=BC2=3， ∴OC2=6， 设正方形A2C2C3D3的边长为x1， 同理证得：△D2OC2∽△D3OC3， ∴=，解得，x1=3， ∴正方形A2C2C3D3的边长为3， 设正方形A3C3C4D4的边长为x2， 同理证得：△D3OC3∽△D4OC4， ∴=，解得x2=， ∴正方形A3C3C4D4的边长为； 设正方形A4C4C5D5的边长为x3， 同理证得：△D4OC4∽△D5OC5， ∴=，解得x=， ∴正方形A4C4C5D5的边长为； 以此类推…． 正方形An﹣1Cn﹣1CnDn的边长为； ∴正方形A9C9C10D10的边长为． 故答案为． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，求得前五个正方形的边长得出规律是解题的关键． 　 三、解答题（本题有8个小题，共66分） 该试题已被管理员删除 　 17．（6分）（2015•湖州）计算：． 【考点】分式的加减法． 【专题】计算题． 【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 解：原式===a+b． 【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 18．（2015•湖州）解不等式组． 解： ∵解不等式①得：x＜6， 解不等式②得：x＞1， ∴不等式组的解集为1＜x＜6． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中． 　 （2015•湖州中考）19．已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个一次函数的解析式． 解：设一次函数解析式为y=kx+b， 将x=3，y=1；x=﹣2，y=﹣4代入得：， 解得：k=1，b=﹣2． 则一次函数解析式为y=x﹣2． 【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 　 （2015•湖州）20．如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE． （1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长； （2）求证：ED是⊙O的切线． （1）解：连接CD， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°， 即CD⊥AB， ∵AD=DB，OC=5， ∴CD是AB的垂直平分线， ∴AC=BC=2OC=10； （2）证明：连接OD，如图所示， ∵∠ADC=90°，E为AC的中点， ∴DE=EC=AC， ∴∠1=∠2， ∵OD=OC， ∴∠3=∠4， ∵AC切⊙O于点C， ∴AC⊥OC， ∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°， 即DE⊥OD， ∴ED是⊙O的切线． 【点评】此题考查了切线的判定与性质，解题的关键是：熟记切线的判定定理与性质定理，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的直径． 　 （2015•湖州）21． 为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）： 选择意向 所占百分比 文学鉴赏 a 科学实验 35% 音乐舞蹈 b 手工编织 10% 其他 c 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数． 解：（1）本次调查的学生总人数是：70÷35%=200（人）， b=40÷200=20%， c=10÷200=5%， a=1﹣（35%+20%+10%+5%）=30%． （2）文学鉴赏的人数：30%×200=60（人）， 手工编织的人数：10%×200=20（人）， 如图所示， （3）全校选择“科学实验”社团的学生人数：1200×35%=420（人）． 　 （2015•湖州）22某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件． （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数； （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数． 解：（1）设原计划每天生产的零件x个，依题意有 =， 解得x=2400， 经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意． ∴规定的天数为24000÷2400=10（天）． 答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天； （2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有 [5×20×（1+20%）×+2400]×（10﹣2）=24000， 解得y=480， 经检验，y=480是原方程的根，且符合题意． 答：原计划安排的工人人数为480人． 【点评】考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间． 　 23．（10分）（2015•湖州）问题背景 已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点． （1）初步尝试 如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等． 求证：HF=AH+CF． 小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题： 思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证DH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立； 思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立． 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）； （2）类比探究 如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且D，E的运动速度之比是：1，求的值； （3）延伸拓展 如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E运动速度相等，试用含m的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程）． （1）证明（选择思路一）：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图1所示： 则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠ACB=60°， ∴∠ADG=∠AGD=∠A， ∴△ADG是等边三角形， ∴GD=AD=CE， ∵DH⊥AC， ∴GH=AH， ∵DG∥BC， ∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF， 在△GDF和△CEF中， ， ∴△GDF≌△CEF（ASA）， ∴GF=CF， ∴GH+GF=AH+CF， 即HF=AH+CF； （2）解：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图2所示： 则∠ADG=∠B=90°， ∵∠BAC=∠ADH=30°， ∴∠HGD=∠HDG=60°， ∴AH=GH=GD，AD=GD， 根据题意得：AD=CE， ∴GD=CE， ∵DG∥BC， ∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF， 在△GDF和△CEF中， ， ∴△GDF≌△CEF（ASA）， ∴GF=CF， ∴GH+GF=AH+CF， 即HF=AH+CF， ∴=2； （3解：，理由如下： 过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图3所示： 则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB， ∵AB=AC，∠BAC=36°， ∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°， ∵∠ADH=∠BAC=36°， ∴AH=DH，∠DHG=72°=∠AGD， ∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH， ∴=m，=m， ∴△DGH∽△ABC， ∴=m， ∴=m， ∵DG∥BC， ∴△DFG∽△EFC， ∴=m， ∴=m， 即=m， ∴=， ∴===． 【点评】本题是相似形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等或三角形相似才能得出结果． 　 （2015•湖州）24．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D． （1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣． ①求点D的坐标及该抛物线的解析式； ②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由； （2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围． 解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1， ∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠DBF=∠BAO， 又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD， 在△AOB和△BFD中， ， ∴△AOB≌△BFD（AAS） ∴DF=BO=1，BF=AO=2， ∴D的坐标是（3，1）， 根据题意，得a=﹣，c=0，且a×32+b×3+c=1， ∴b=， ∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+x； ②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点， ∴C（，1）， ∵C、D两点的纵坐标都为1， ∴CD∥x轴， ∴∠BCD=∠ABO， ∴∠BAO与∠BCD互余， 要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO， 设P的坐标为（x，﹣x2+x）， （Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2， 则tan∠POB=tan∠BAO，即=， ∴=，解得x1=0（舍去），x2=， ∴﹣x2+x=， ∴P点的坐标为（，）； （Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3 则tan∠POB=tan∠BAO，即=， ∴=，解得x1=0（舍去），x2=， ∴﹣x2+x=﹣， ∴P点的坐标为（，﹣）； 综上，在抛物线上是否存在点P（，）或（，﹣），使得∠POB与∠BCD互余． （2）如图3，∵D（3，1），E（1，1）， 抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，所以y=ax2﹣4ax+3a+1． 分两种情况： ①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个． （i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个； （ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣； ②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个， （i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个； （ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个． 根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO， ∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此时直线OQ的斜率为﹣，则直线OQ的解析式为y=﹣x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+＞0，解得a＞（a＜舍去） 综上所示，a的取值范围为a＜﹣或a＞． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，正切函数，最小值等，分类讨论的思想是本题的关键．