2015年山东省德州市中考数学试题（全解全析 ）.doc

2015年山东省德州市中考数学试题 　 一、选择题 1． ||的值是（　　） 　 A． B． C． ﹣2 D． 2 解析：根据负数的绝对值是它的相反数，得||=． 故选B． 2．某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（　　） 　 A．圆锥 B． 圆柱 C． 长方体 D．四棱柱 解析：∵主视图和左视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， ∵俯视图是一个圆， ∴此几何体为圆柱， 故选：B． 3．2014年德州市农村中小学校含标准化工程开工学校项目356个，开工面积56.2万平方米，开工面积量创历年最高，56.2万平方米用科学记数法表示正确的是（　　） 　 A．5.62×104m2 B． 56.2×104m2 C． 5.62×105m2 D． 0.562×104m2 解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 56.2万=562000=5.62×105， 故选C， 4．下列运算正确的是（　　） 　 A．﹣= B． b2•b3=b6 C． 4a﹣9a=﹣5 D． （ab2）2=a2b4 解析：∵， ∴选项A错误； ∵b2•b3=b5， ∴选项B错误； ∵4a﹣9a=﹣5a， ∴选项C错误； ∵（ab2）2=a2b4， ∴选项D正确． 故选：D． 点评： （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （2）①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）． （3）把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （4）①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式． 5．一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（　　） 　 A．8 B． 9 C． 13 D． 15 解析：∵每个数都等于它前面的两个数之和， ∴x=1+2=3， ∴y=x+5=3+5=8， 即这组数中y表示的数为8． 故选：A． 6．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　） 　 A．35° B．40° C．50° D．65° 解析：∵CC′∥AB， ∴∠ACC′=∠CAB=65°， ∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′， ∴AC=AC′， ∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°， ∴∠CAC′=∠BAB′=50°． 故选C． 7．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　） 　 A．a＜1 B． a≤4 C． a≤1 D． a≥1 解析：因为关于x的一元二次方程有实根， 所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0， 解之得a≤1． 故选C． 8．下列命题中，真命题的个数是（　　） ①若﹣1＜x＜﹣，则﹣2； ②若﹣1≤x≤2，则1≤x2≤4 ③凸多边形的外角和为360°； ④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB． 　 A．4 B． 3 C． 2 D． 1 解析：若﹣1＜x＜﹣，﹣2，所以①正确； 若﹣1≤x≤2，则0≤x2≤4，所以②错误； 凸多边形的外角和为360°，所以③正确； 三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，所以④正确． 故选B． 9．如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（　　） 　 A． 288° B． 144° C． 216° D． 120° 解析：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5， ∴设底面圆的半径为4x， 则母线长是5x， 设圆心角为n°， 则2π×4x=， 解得：n=288， 故选A． 10．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是（　　） 　 A． B． C． D． 解析：（1）画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示： ∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果； （2）由（1）中“树形图”知，两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有2种，且所有结果的可能性相等， ∴P（两辆汽车一辆左转，一辆右转）=． 故选C． 11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论： ①OA=OD； ②AD⊥EF； ③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形； ④AE+DF=AF+DE． 其中正确的是（　　） 　 A．②③ B． ②④ C． ①③④ D． ②③④ 思路： ①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确． ②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF． ③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可． ④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立，据此解答即可． 解析：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意， ∴①不正确； ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD∠FAD， 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE=AF，DE=DF， ∴AE+DF=AF+DE， ∴④正确； 在△AEO和△AFO中， ， ∴△AE0≌△AF0（SAS）， ∴EO=FO， 又∵AE=AF， ∴AO是EF的中垂线， ∴AD⊥EF， ∴②正确； ∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角， ∴四边形AEDF是矩形， 又∵DE=DF， ∴四边形AEDF是正方形， ∴③正确． 综上，可得 正确的是：②③④． 故选：D． 12．如图，平面直角坐标系中，A点坐标为（2，2），点P（m，n）在直线y=﹣x+2上运动，设△APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是（　　） 　 A． B． C． 思路：根据题意得出临界点P点横坐标为1时，△APO的面积为0，进而结合底边长不变得出即可． 解析：∵点P（m，n）在直线y=﹣x+2上运动， ∴当m=1时，n=1，即P点在直线AO上，此时S=0， 当0＜m≤1时，S△APO不断减小，当m＞1时，S△APO不断增大，且底边AO不变，故S与m是一次函数关系． 故选：B． 点评： 此题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意得出临界点是解题关键． 二、填空题（每小题4分） 13．计算2﹣2+（）0=　　． 解析：2﹣2+（）0=+1= 故答案为：． 14．方程﹣=1的解是　　． 解析：去分母得：x2﹣2x+2=x2﹣x， 解得：x=2， 经检验x=2是分式方程的解， 故答案为：x=2 15．在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为：7，8，10，8，9，6，计算这组数据的方差为　　． 解析：平均数=（7+8+10+8+9+6）=8， 所以方差S2=[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2]=． 故答案为． 16．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度均为　　m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 解析：根据题意得：EF⊥AC，CD∥FE， ∴四边形CDEF是矩形， 已知底部B的仰角为45°即∠BEF=45°， ∴∠EBF=45°， ∴CD=EF=FB=38， 在Rt△AEF中， AF=EF•tan50°=38×1.19≈45.22 ∴AB=AF﹣BF=45.22﹣38≈7.2， ∴旗杆的高约为7米． 故答案为：7.2． 17．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠A=60°．取AB的中点A1，连接A1C，再分别取A1C，BC的中点D1，C1，连接D1C1，得到四边形A1BC1D1．如图2，同样方法操作得到四边形A2BC2D2，如图3，…，如此进行下去，则四边形AnBCnDn的面积为　　． 解析：作DE⊥AB于点E． 在直角△ADE中，DE=AD•sinA=a，AE=AD=a， 则AB=2AD=2a，S梯形ABCD=（AB+CD）•DE=（2a+a）•a=a2． 如图2，∵D1、C1是A1C和BC的中点， ∴D1C1∥A1B，且C1D1=A1B， ∵AA1=CD，AA1∥CD， ∴四边形AA1CD是平行四边形， ∴AD∥A1C，AD=A1C=a， ∴∠A=∠CA1B， 又∵∠B=∠B， ∴∠D=∠A1D1C1，∠DCB=∠D1C1B， =， ∴梯形A1BC1D1∽梯形ABCD，且相似比是． 同理，梯形AnBCnDn∽梯形An﹣1BCn﹣1Dn﹣1，相似比是． 则四边形AnBCnDn的面积为a2． 故答案是：a2． 三、解答题： 18．（6分）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a=2+，b=2﹣． 分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则计算，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 解：原式=÷=•=， 当a=2+，b=2﹣时，原式===． 19．（8分）2014年1月，国家发改委出台指导意见，要求2015年底前，所有城市原则上全面实行居民阶梯水价制度，小明为了解市政府调整水价方案的社会反响，随机访问了自己居住小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图1，图2． 小明发现每月每户的用水量在5m3﹣35m3之间，有8户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓，不会考虑用水方式的改变，根据小明控制的图表和发现的信息，完成下列问题： （1）n=　　，小明调查了　　户居民，并补全图1； （2）每月每户用水量的中位数和众数分别落在什么范围？ （3）如果小明所在小区有1800户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有多少． 分析： （1）首先根据圆周角等于360°，求出的值是多少即可；然后用“视水价格调价涨幅抱无所谓态度”的居民的户数除以它占被调查的居民户数的分率，求出小明调查了多少户居民；最后求出每月每户的用水量在15m3﹣20m3之间的居民的户数，补全图1即可． （2）根据中位数和众数的含义分别进行解答即可． （3）根据分数乘法的意义，用小明所在小区居民的户数乘以“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数占被调查的居民户数的分率，求出“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有多少即可． 解：（1）n=360﹣30﹣120=210， ∵8÷ = =96（户） ∴小明调查了96户居民． 每月每户的用水量在15m3﹣20m3之间的居民的户数是： 96﹣（15+22+18+16+5） =96﹣76 =20（户）． （2）96÷2=48（户），15+12=37（户），15+22+20=57（户）， ∵每月每户的用水量在5m3﹣15m3之间的有37户，每月每户的用水量在5m3﹣20m3之间的有57户， ∴把每月每户用水量这组数据从小到大排列后，第48个、第49个数在15﹣20之间， ∴第48个、第49个数的平均数也在15﹣20之间， ∴每月每户用水量的中位数落在15﹣20之间； ∵在这组数据中，10﹣15之间的数出现的次数最多，出现了22次， ∴每月每户用水量的众数落在10﹣15之间． （3）∵1800×=1050（户）， ∴“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有1050户． 故答案为：210、96． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB， （1）求证：四边形AEBD是菱形； （2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式． 分析：（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四边形AEBD是菱形； （2）连接DE，交AB于F，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E坐标代入求出k的值即可． 解：（1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵四边形OABC是矩形， ∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2， ∴DA=DB， ∴四边形AEBD是菱形； （2）解：连接DE，交AB于F，如图所示： ∵四边形AEBD是菱形， ∴AB与DE互相垂直平分， ∵OA=3，OC=2， ∴EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=， ∴点E坐标为：（，1）， 设经过点E的反比例函数解析式为：y=， 把点E（，1）代入得：k=， ∴经过点E的反比例函数解析式为：y=． 21．（10分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状：　　； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 分析： （1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状； （2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得； （3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积． 解：（1）△ABC是等边三角形． 证明如下：在⊙O中 ∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角， ∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC， 又∵∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）在PC上截取PD=AP，如图1， 又∵∠APC=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°． 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°， ∴∠ADC=∠APB， 在△APB和△ADC中， ， ∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP=CD， 又∵PD=AP， ∴CP=BP+AP； （3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大． 理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E． 过点C作CF⊥AB，垂足为F． ∵S△APE=AB•PE，S△ABC=AB•CF， ∴S四边形APBC=AB•（PE+CF）， 当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径， ∴此时四边形APBC的面积最大． 又∵⊙O的半径为1， ∴其内接正三角形的边长AB=， ∴S四边形APBC=×2×=． 22．（10分）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）根据图象求y与x的函数关系式； （2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定为多少？ 分析： （1）根据图象可设y=kx+b，将（40，160），（120，0）代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据每千克的利润×销售量=2400元列出方程，解方程求出销售单价，从而计算销售量，进而求出销售成本，与3000元比较即可得出结论． 解答： 解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b， 将（40，160），（120，0）代入， 得，解得， 所以y与x的函数关系式为y=﹣2x+240（40≤x≤120）； （2）由题意得（x﹣40）（﹣2x+240）=2400， 整理得，x2﹣160x+6000=0， 解得x1=60，x2=100． 当x=60时，销售单价为60元，销售量为120千克，则成本价为40×120=4800（元），超过了3000元，不合题意，舍去； 当x=100时，销售单价为100元，销售量为40千克，则成本价为40×40=1600（元），低于3000元，符合题意． 所以销售单价为100元． 答：销售单价应定为100元． 点评： 本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，利用待定系数法求出y与x的函数关系式是解题的关键． 　 23．（10分）（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP． （2）探究 如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由． （3）应用 请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值． 考点： 相似形综合题；切线的性质．. 专题： 探究型． 分析： （1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5﹣4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值． 解答： 解：（1）如图1， ∵∠DPC=∠A=∠B=90°， ∴∠ADP+∠APD=90°， ∠BPC+∠APD=90°， ∴∠ADP=∠BPC， ∴△ADP∽△BPC， ∴=， ∴AD•BC=AP•BP； （2）结论AD•BC=AP•BP仍然成立． 理由：如图2， ∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP， ∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP． ∵∠DPC=∠A=∠B=θ， ∴∠BPC=∠ADP， ∴△ADP∽△BPC， ∴=， ∴AD•BC=AP•BP； （3）如图3， 过点D作DE⊥AB于点E． ∵AD=BD=5，AB=6， ∴AE=BE=3． 由勾股定理可得DE=4． ∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切， ∴DC=DE=4， ∴BC=5﹣4=1． 又∵AD=BD， ∴∠A=∠B， ∴∠DPC=∠A=∠B． 由（1）、（2）的经验可知AD•BC=AP•BP， ∴5×1=t（6﹣t）， 解得：t1=1，t2=5， ∴t的值为1秒或5秒． 点评： 本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想． 　 24．（12分）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2， （1）求抛物线的解析式． （2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标． 考点： 二次函数综合题．. 分析： （1）利用根据与系数的关系得出α+β=，αβ=﹣2，进而代入求出m的值即可得出答案； （2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，得出四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，进而利用勾股定理求出即可； （3）利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4，进而分别求出即可． 解答： 解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得， α+β=，αβ=﹣2， ∵=﹣2， ∴=﹣2，即=﹣2， 解得：m=1， 故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2； （2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小， ∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6， ∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6）， 又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称， ∴E点坐标为：（4，2）， 作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′， 则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2）， 连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N， 此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示： 延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8， 则D′E′===10， 设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2， ∴DE===2， ∴四边形DNME的周长最小值为：10+2； （3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H， 若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE， ∴PH=DG=4， ∴|y|=4， ∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4， 解得：x1=2+，x2=2﹣， 当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4， 解得：x3=2+，x4=2﹣， 故P点的坐标为；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）． 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识，利用数形结合以及分类讨论得出P点坐标是解题关键．