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数学资源网 新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答 第二章 圆锥曲线与方程 2．1曲线与方程 练习（P37） 1、是. 容易求出等腰三角形的边上的中线所在直线的方程是. 2、. 3、解：设点的坐标分别为，. （1）当时，直线斜率 所以， 由直线的点斜式方程，得直线的方程为 . 令，得，即点的坐标为. 由于点是线段的中点，由中点坐标公式得. 由得，代入， 得，即……① （2）当时，可得点的坐标分别为， 此时点的坐标为，它仍然适合方程① 由（1）（2）可知，方程①是点的轨迹方程，它表示一条直线. 习题2.1 A组（P37） 1、解：点、在方程表示的曲线上； 点不在此曲线上 2、解：当时，轨迹方程为；当时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为轴，线段垂直平分线为轴，建立直角坐标系，得点的轨迹方程为. 4、解法一：设圆的圆心为，则点的坐标是. 由题意，得，则有. 所以， 化简得 当时，，点适合题意；当时，，点不合题意. 解方程组 ， 得 所以，点的轨迹方程是，. 解法二：注意到是直角三角形， 利用勾股定理，得， 即. 其他同解法一. 习题2.1 B组（P37） 1、解：由题意，设经过点的直线的方程为. 因为直线经过点，所以 因此， （第2题） 由已知点的坐标为，所以点的轨迹方程为. 2、解：如图，设动圆圆心的坐标为. 由于动圆截直线和所得弦分别为 ，，所以，，. 过点分别 作直线和的垂线，垂足分别为， ，则，. ，. 连接，，因为， 则有， 所以，，化简得，. 因此，动圆圆心的轨迹方程是. 2．2椭圆 练习（P42） 1、14. 提示：根据椭圆的定义，，因为，所以. 2、（1）； （2）； （3），或. 3、解：由已知，，，所以. （1）的周长. 由椭圆的定义，得，. 所以，的周长. （2）如果不垂直于轴，的周长不变化. 这是因为①②两式仍然成立，的周长，这是定值. 4、解：设点的坐标为，由已知，得 直线的斜率 ； 直线的斜率 ； 由题意，得，所以 化简，得 （第1题） 因此，点的轨迹是直线，并去掉点. 练习（P48） 1、以点（或）为圆心，以线段（或） 为半径画圆，圆与轴的两个交点分别为. 点就是椭圆的两个焦点. 这是因为，在中，，， 所以，. 同样有. 2、（1）焦点坐标为，； （2）焦点坐标为，. 3、（1）； （2）. 4、（1） （2），或. 5、（1）椭圆的离心率是，椭圆的离心率是， 因为，所以，椭圆更圆，椭圆更扁； （2）椭圆的离心率是，椭圆的离心率是， 因为，所以，椭圆更圆，椭圆更扁. 6、（1）； （2）； （3）. 7、. 习题2.2 A组（P49） 1、解：由点满足的关系式以及椭圆的定义得， 点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆. 它的方程是. 2、（1）； （2）； （3），或. 3、（1）不等式，表示的区域的公共部分； （2）不等式，表示的区域的公共部分. 图略. 4、（1）长轴长，短轴长，离心率， 焦点坐标分别是，，顶点坐标分别为，，，； （2）长轴长，短轴长，离心率， 焦点坐标分别是，，顶点坐标分别为，，，. 5、（1）； （2），或； （3），或. 6、解：由已知，椭圆的焦距. 因为的面积等于1，所以，，解得. （第7题） 代入椭圆的方程，得，解得. 所以，点的坐标是，共有4个. 7、解：如图，连接. 由已知，得. 所以，. 又因为点在圆内，所以 根据椭圆的定义，点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆. 8、解：设这组平行线的方程为. 把代入椭圆方程，得. 这个方程根的判别式 （1）由，得. 当这组直线在轴上的截距的取值范围是时，直线与椭圆相交. （2）设直线与椭圆相交得到线段，并设线段的中点为. 则 . 因为点在直线上，与联立，消去，得. 这说明点的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上. 9、. 10、地球到太阳的最大距离为km，最下距离为km. 习题2.2 B组（P50） 1、解：设点的坐标为，点的坐标为， 则，. 所以， ……①. 因为点在圆上，所以 ……②. 将①代入②，得点的轨迹方程为，即 所以，点的轨迹是一个椭圆 与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到. 2、解法一：设动圆圆心为，半径为，两已知圆的圆心分别为. 分别将两已知圆的方程 ， 配方，得 ， 当与：外切时，有 ……① 当与：内切时，有 ……② ①②两式的两边分别相加，得 即， ……③ 化简方程③. 先移项，再两边分别平方，并整理，得 ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 ……⑤ 将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 ……⑥ 由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，. 解法二：同解法一，得方程 ……① 由方程①可知，动圆圆心到点和点距离的和是常数12， 所以点的轨迹方程是焦点为、，长轴长等于12的椭圆. 并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 ，，所以， 所以. 于是，动圆圆心的轨迹方程为. 3、解：设是点到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合 由此得 将上式两边平方，并化简，得 ，即 所以，点的轨迹是长轴、短轴长分别为8，的椭圆. （第4题） 4、解：如图，由已知，得，，，. 因为是线段的四等分点， 是线段的四等分点， 所以，； . 直线的方程是； 直线的方程是. 联立这两个方程，解得 . 所以，点的坐标是. 同样，点的坐标是，点的坐标是. 由作图可见，可以设椭圆的方程为 ……① 把点的坐标代入方程①，并解方程组，得 ，. 所以经过点的椭圆方程为. 把点的坐标代入，得， 所以，点在上. 因此，点都在椭圆上. 2．3双曲线 练习（P55） 1、（1）. （2）. （3）解法一：因为双曲线的焦点在轴上 所以，可设它的标准方程为 将点代入方程，得，即 又 解方程组 令，代入方程组，得 解得 ，或 第二组不合题意，舍去，得 所求双曲线的标准方程为 解法二：根据双曲线的定义，有. 所以， 又，所以 由已知，双曲线的焦点在轴上，所以所求双曲线的标准方程为. 2、提示：根据椭圆中和双曲线中的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标. 3、由，解得，或 练习（P61） 1、（1）实轴长，虚轴长；顶点坐标为； 焦点坐标为；离心率. （2）实轴长，虚轴长；顶点坐标为； 焦点坐标为；离心率. （3）实轴长，虚轴长；顶点坐标为； 焦点坐标为；离心率. （4）实轴长，虚轴长；顶点坐标为； 焦点坐标为；离心率. 2、（1）； （2）. 3、 4、，渐近线方程为. 5、（1）； （2） 习题2.3 A组（P61） 1、把方程化为标准方程，得. 因为，由双曲线定义可知，点到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点到另一焦点的距离是17. 2、（1）. （2） 3、（1）焦点坐标为，离心率； （2）焦点坐标为，离心率； 4、（1）. （2） （3）解：因为，所以，因此. 设双曲线的标准方程为 ，或. 将代入上面的两个方程，得 ，或. 解得 （后一个方程无解）. 所以，所求的双曲线方程为. 5、解：连接，由已知，得. 所以，. 又因为点在圆外，所以. 根据双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线. 6、. 习题2.3 B组（P62） 1、 2、解：由声速及两处听到爆炸声的时间差，可知两处与爆炸点的距离的差， 因此爆炸点应位于以为焦点的双曲线上. 使两点在轴上，并且原点与线段的中点重合，建立直角坐标系. 设爆炸点的坐标为，则 . 即 ，. 又，所以，，. 因此，所求双曲线的方程为. 3、 4、解：设点，在双曲线上，且线段的中点为. 设经过点的直线的方程为，即 把代入双曲线的方程得 （） ……① 所以， 由题意，得，解得 . 当时，方程①成为. 根的判别式，方程①没有实数解. 所以，不能作一条直线与双曲线交于两点，且点是线段的中点. 2．4抛物线 练习（P67） 1、（1）； （2）； （3）. 2、（1）焦点坐标，准线方程； （2）焦点坐标，准线方程； （3）焦点坐标，准线方程； （4）焦点坐标，准线方程； 3、（1），. （2）， 提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点到准线的距离等于9， （第2题） 所以 ，，. 练习（P72） 1、（1）； （2）； （3）； （4）. 2、图形见右，的系数越大，抛物线的开口越大. 3、解：过点且斜率为1的直线的方程 为 与抛物线的方程联立 解得 ， 设，，则. 4、解：设直线的方程为. 将代入抛物线方程，得，即. 因为 ， 所以， 因此，直线的方程为. 习题2.4 A组（P73） 1、（1）焦点坐标，准线方程； （2）焦点坐标，准线方程； （3）焦点坐标，准线方程； （4）焦点坐标，准线方程. 2、（1）； （2），或 3、解：由抛物线的方程，得它的准线方程为. 根据抛物线的定义，由，可知，点的准线的距离为. 设点的坐标为，则 ，解得. 将代入中，得. 因此，点的坐标为，. 4、（1），； （2）（图略） 5、解：因为，所以线段所在直线的斜率. 因此，直线的方程为 与抛物线联立，得 将代入得，，解得，， 把，分别代入①得 ， 由第5题图知不合题意，所以点的坐标为. 因此， 6、证明：将代入中，得， 化简得 ，解得 则 因为 ， 所以 （第8题） 所以 7、这条抛物线的方程是 8、解：建立如图所示的直角坐标系， 设拱桥抛物线的方程为， 因为拱桥离水面2 m，水面宽4 m 所以 ， 因此，抛物线方程为 ……① 水面下降1 m，则，代入①式，得，. 这时水面宽为 m. 习题2.2 B组（P74） 1、解：设垂线段的中点坐标为，抛物线上相应点的坐标为. 根据题意，，，代入，得轨迹方程为. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为的抛物线. 2、解：设这个等边三角形的顶点在抛物线上，且坐标分别为，， 则 ，. 又，所以 即， 因此， 因为，所以 由此可得，即线段关于轴对称. 因为轴垂直于，且，所以. 因为，所以，因此. 3、解：设点的坐标为 由已知，得 直线的斜率 . 直线的斜率 . 由题意，得，所以，，化简，得 第二章 复习参考题A组（P80） 1、解：如图，建立直角坐标系，使点在轴上，为椭圆的右焦点（记为左焦点）. （第1题） 因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为. 则 ， ， 解得 ， 所以 用计算器算得 因此，卫星的轨道方程是. 2、解：由题意，得 ， 解此方程组，得 因此卫星轨道的离心率. 3、（1）； （2）. 4、（1）当时，方程表示圆. （2）当时，方程化成. 方程表示焦点在轴上的椭圆. （3）当时，，即，方程表示平行于轴的两条直线. （4）当时，因为，所以表示双曲线，其焦点在轴上. 而当时，方程表示等轴双曲线. 5、解：将代入方程 得 即 ……① 令 ，解得，或 因为，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点， 所以，的取值范围为，或 6、提示：设抛物线方程为，则点的坐标为，点的坐标为 设点的坐标为，则点的坐标为. 因为，，，. 所以，，即是和的比例中项. 7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是，其中点在轴上方. 直线的方程为 与联立，消去，得 解方程，得 ， 把代入，得 . 把代入，得 . 所以，满足条件的点有两个，. 根据图形的对称性，可得满足条件的点也有两个， 所以，等边三角形的边长是，或者. 8、解：设直线的方程为. 把代入双曲线的方程，得. ， ……① 由已知，得 ……② 把①代入②，解得 所以，直线的方程为 9、解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为. 并设经过点的直线的方程为，即. 把代入双曲线的方程，得 . ……① 所以， 由题意，得，解得 当时，方程①成为 根的判别式，方程①有实数解. 所以，直线的方程为. 10、解：设点的坐标为. 由已知，得 直线的斜率 直线的斜率 由题意，得. 所以， 化简得， 当时，点的轨迹是椭圆，或者圆，并除去两点； 当时，点的轨迹是双曲线，并除去两点； 11、解：设抛物线上的点的坐标为，则. 点到直线的距离 . 当时，的最小值是. 此时，点的坐标是. （第12题） 12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱 顶为原点、拱高所在直线为轴 （向上），建立直角坐标系. 设隧道顶部所在抛物线的方程 为 因为点在抛物线上 所以 解得 所以，隧道顶部所在抛物线的方程 为. 设. 则 把点的坐标代入方程，解得. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m. 第二章 复习参考题B组（P81） 1、. 2、解：由题意，得轴. 把代入椭圆方程，解得 . 所以，点的坐标是 直线的斜率. 直线的斜率. 由题意，得，所以，，. 由已知及，得 所以 ，解得 所以，， 因此，椭圆的方程为. 3、解：设点的坐标，点的坐标. 由，得. 由已知，得直线的方程为. 则有 ……① 由与消去，得 ……② ， ……③ 把③代入①，解得 当时，方程②成为，显然此方程有实数根. 所以， （第4题） 4、解：如图，以连接的直线为轴，线段的中点为原点，建立直角坐标系. 对于抛物线，有， 所以，，. 对于双曲线，有 解此方程组，得， 因此，. 所以，所求双曲线的方程是 . 因为抛物线的顶点横坐标是 所以，所求抛物线的方程是 答：抛物线的方程为， 双曲线的方程是. 5、解：设点的坐标为 由已知，得 直线的斜率 直线的斜率 由题意，得，所以，化简，得 所以，点轨迹方程是. 6、解：（1）当时，方程表示轴；（2）当时，方程表示轴； （3）当时，把方程写成 . ①当时，方程表示椭圆； ②时，方程表示圆； ③当，或时，方程表示双曲线. （第7题） 7、以为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明：如图，过点分别作抛物线的准线的 垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义，得 ，. 所以，. 设的中点为，且过点作抛物线的准线的垂线，垂足为. 显然∥轴， 所以，是直角梯形的中位线. 于是，. 因此，点在以为直径的圆上. 又，所以，以为直径的圆与抛物线的准线相切. 类似地，可以证明： 对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离； 对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交. 新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答 （第20页共19页）