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数学资源网 新课程标准数学必修5第一章课后习题解答 第一章 解三角形 1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P4） 1、（1），，； （2）cm，cm，. 2、（1），，；或，，； （2），，. 练习（P8） 1、（1）； （2）. 2、（1）； （2）. 习题1.1 A组（P10） 1、（1）； （2） 2、（1） （2）； （3）； 3、（1）； （2）； （3）； （第1题图1） 4、（1）； （2）； 习题1.1 A组（P10） 1、证明：如图1，设的外接圆的半径是， ①当时直角三角形时，时， 的外接圆的圆心在的斜边上. 在中，， 即， 所以， 又 所以 ②当时锐角三角形时，它的外接圆的圆心在三角形内（图2）， （第1题图2） 作过的直径，连接， 则直角三角形，，. 在中，， 即， 所以， 同理：， ③当时钝角三角形时，不妨假设为钝角， 它的外接圆的圆心在外（图3） 作过的直径，连接. （第1题图3） 则直角三角形，且， 在中，， 即 即 同理：， 综上，对任意三角形，如果它的外接圆半径等于， 则 2、因为， 所以，即 因为， 所以，或，或. 即或. 所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形. 在得到后，也可以化为 所以 ，或 即，或，得到问题的结论. 1．2应用举例 练习（P13） 1、在中， n mile，， 根据正弦定理， 得 ∴到直线的距离是（cm）. ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长1.89 m. 练习（P15） 1、在中，， 在中，根据正弦定理， 所以，山高为 2、在中，m， 根据正弦定理， m 井架的高约9.8m. 3、山的高度为m 练习（P16） 1、约. 练习（P18） 1、（1）约； （2）约； （3）约. 2、约 3、右边 左边 【类似可以证明另外两个等式】 习题1.2 A组（P19） 1、在中， n mile， ， 根据正弦定理， n mile 货轮到达点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile. 3、在中，， n mile 根据正弦定理， 在中，， 根据正弦定理，，即 n mile n mile 如果一切正常，此船从开始到所需要的时间为： min 即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达岛. 4、约5821.71 m 5、在中，， 根据正弦定理， ， 所以路程比原来远了约86.89 km. 6、飞机离处探照灯的距离是4801.53 m，飞机离处探照灯的距离是4704.21 m，飞机的高度是约4574.23 m. 7、飞机在150秒内飞行的距离是 根据正弦定理， 这里是飞机看到山顶的俯角为时飞机与山顶的距离. 飞机与山顶的海拔的差是： 山顶的海拔是 8、在中，，， 根据正弦定理，，即 （第9题） 塔的高度为 9、 在中，根据余弦定理： 根据正弦定理， 在中，根据余弦定理： 在中，根据余弦定理： （第10题） 所以，飞机应该以南偏西的方向飞行，飞行距离约. 10、 如图，在中，根据余弦定理： ， 所以，仰角为 11、（1） （2）根据正弦定理：， （第13题） （3）约为1597.94 12、. 13、根据余弦定理： 所以 所以，同理， 14、根据余弦定理的推论，， 所以，左边 右边 习题1.2 B组（P20） 1、根据正弦定理：，所以 代入三角形面积公式得 2、（1）根据余弦定理的推论： 由同角三角函数之间的关系， 代入，得 记，则可得到，， 代入可证得公式 （2）三角形的面积与三角形内切圆半径之间有关系式 其中，所以 （3）根据三角形面积公式 所以，，即 同理， 第一章 复习参考题A组（P24） 1、（1）； （2）；或 （3）； （4）； （5）； （6）； （第2题） 2、解法1：设海轮在处望见小岛在北偏东，在处望 见小岛在北偏东，从小岛向海轮的航线作垂 线，垂线段的长度为 n mile，为 n mile. 则 所以，这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险. 3、根据余弦定理： 所以 从的余弦值可以确定它的大小. （第4题） 类似地，可以得到下面的值，从而确定的大小. 4、如图，是两个观测点，到的距离是，航船在时刻 在处，以从到的航向航行，在此时测出和. 在时刻，航船航行到处，此时，测出和. 根 据正弦定理，在中，可以计算出的长，在中， 可以计算出的长. 在中，、已经算出，，解， 求出的长，即航船航行的距离，算出，这样就可以算出航船的航向和速度. （第7题） 5、河流宽度是. 6、47.7 m. 7、如图，是已知的两个小岛，航船在时刻在处，以从 到的航向航行，测出和. 在时刻，航船航行 到处，根据时间和航船的速度，可以计算出到的距离是，在处测出和 . 根据正弦定理，在中，可以计算出的长，在中，可以计算出 的长. 在中，、已经算出，，根据余弦定理，就可 以求出的长，即两个海岛的距离. （第1题） 第一章 复习参考题B组（P25） 1、如图，是两个底部不可到达的建筑物的尖顶，在地面某点 处，测出图中，的大小，以及的距离. 利用正弦 定理，解，算出. 在中，测出和， 利用正弦定理，算出. 在中，测出，利用余弦定 理，算出的长. 本题有其他的测量方法. 2、关于三角形的面积公式，有以下的一些公式： （1）已知一边和这边上的高：； （2）已知两边及其夹角：； （3）已知三边：，这里； （4）已知两角及两角的共同边：； （5）已知三边和外接圆半径：. 3、设三角形三边长分别是，三个角分别是. 由正弦定理，，所以. 由余弦定理，. 即，化简，得 所以，或. 不合题意，舍去. 故 所以，三角形的三边分别是4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍. 另解：先考虑三角形所具有的第一个性质：三边是连续的三个自然数. （1）三边的长不可能是1,2,3. 这是因为，而三角形任何两边之和大于第三边. （2）如果三边分别是. 因为 在此三角形中，是最小角，是最大角，但是， 所以，边长为2,3,4的三角形不满足条件. （3）如果三边分别是，此三角形是直角三角形，最大角是，最小角 不等于. 此三角形不满足条件. （4）如果三边分别是. 此时， 此时，，而，所以 所以，边长为4,5,6的三角形满足条件. （5）当，三角形的三边是时， 三角形的最小角是，最大角是. 随的增大而减小，随之增大，随的增大而增大，随之变小. 由于时有，所以，，不可能. 综上可知，只有边长分别是4,5,6的三角形满足条件. 新课程标准数学必修5第一章课后习题解答 （第10页共9页）