带有分数阶导数边值条件的分数阶微分方程正解的存在性_赵微.pdf

华南师范大学学报(自然科学版)Journal of South China Normal University(Natural Science Edition)2022，54(6):95101doi:106054/jjscnun2022090收稿日期:20210829华南师范大学学报(自然科学版)网址:http:journalnscnueducn基金项目:黑龙江省自然科学基金项目(LH2020A017)*通信作者:赵微，Email:zw_19791220 163com带有分数阶导数边值条件的分数阶微分方程正解的存在性赵微*，高扬(大庆师范学院数学科学学院，大庆 163712)摘要:讨论了一类带有分数阶导数边值条件的分数阶微分方程Dv0+u(t)+h(t)f(t，u(t)=0(0t1，n1vn)，u(0)=u(0)=u(0)=u(n2)(0)=0(n3)，(D0+u(t)t=1=m2i=1i(Di0+u(t)t=i(1in2)，其中，Dv0+是 imannLiouvile 分数阶导数，i(0，1)，012m21，i 0，)。文中给出其格林函数及相关性质，运用凸泛函上的不动点指数定理来计算不动点指数，从而得到了上述边值问题至少存在一个正解的结论。最后通过一个例子说明定理的具体应用。关键词:分数阶微分方程;分数阶边值条件;格林函数;凸泛函;不动点指数中图分类号:O1758文献标志码:A文章编号:10005463(2022)06009507Existence of Positive Solutions for Fractional Differential Equation withFractional Differential Boundary Value ConditionZHAO Wei*，GAO Yang(Department of Mathematics，Daqing Normal University，Daqing 163712，China)Abstract:The existence of positive solutions for the fractional differential equation with fractional differentialboundary value conditionDv0+u(t)+h(t)f(t，u(t)=0(0t1，n1vn)，u(0)=u(0)=u(0)=u(n2)(0)=0(n3)，(D0+u(t)t=1=m2i=1i(Di0+u(t)t=i(1in2)is considered under some conditions，where Dv0+is imannLiouvile fractional differential，i(0，1)，012m21，i 0，)Firstly，the Green function for the above fractional differential equation is constructed Theproperties of the Greens function are obtained Secondly，by using the fixed point index theorem on convex func-tional to calculate the fixed point index，the conclusion that there is at least one positive solution to the aboveboundary value problem is obtained Finally，an example is given to illustrate the application of the main theoremKeywords:fractional differential equation;fractional differential boundary value condition;Green function;con-vex functional;fixed point index近几十年来，分数阶微分方程及其边值问题受到了许多学者的关注，在很多科学领域中都有着广泛的应用。目前，关于分数阶微分方程边值问题的研究已经有很多成果113，但是关于边值条件中带不同分数阶导数的研究相对较少。薛益民等1 运用 GuoKrasnoselskiis 不动点定理，得到如下分数阶微分方程正解的存在性:Du(t)+f(t，u(t)=0(0t1)，u(0)=Du(0)=Du(1)=0，其中，D(23)为 imannLiouvile 分数阶导数。张凯斌和陈鹏玉3 运用非紧性测度的估计技巧与凝聚映射的不动点指数理论，得到如下分数阶微分方程正解的存在性:D0+u(t)=f(t，u(t)(0t1)，u(0)=u(0)=u(1)=，其中，D0+为 imannLiouvile 分数阶导数，23。受文献 1、3 的启发，本文考虑如下带有分数阶导数边值条件的分数阶微分方程Dv0+u(t)+h(t)f(t，u(t)=0(0t1，n1vn)，u(0)=u(0)=u(0)=u(n2)(0)=0(n3)，(D0+u(t)t=1=m2i=1i(Di0+u(t)t=i(1，in2)，(1)其中，i(0，1)，012m21，i 0，)。需要指出的是，这里的边值条件中带有不同阶数的分数阶导数。文中首先构建其格林函数，得到相应的相关性质;其次，运用凸泛函上的不动点指数定理来计算不动点指数，从而得到了方程(1)至少存在一个正解的结论;最后，通过一个例子来说明定理的具体应用。1预备知识首先，给出一些必要的定义和引理，推导出相应的带有分数阶导数边值条件的分数阶微分方程的格林函数，并给出格林函数的一些性质;然后，将方程(1)转化为一个等价的积分方程。定义 16 函数 y:(0，+)R的 v0 阶 ie-mannLiouville 积分定义如下Iv0+y(t)=1(v)t0(ts)v1y(s)ds，其中，等式右边是在(0，+)上逐点定义的。定义 26 函数 y:(0，+)R的 v0 阶 ie-mannLiouville 微分定义如下Dv0+y(t)=1(nv)ddt()nt0y(s)(ts)vn+1ds，其中，等式右边是在(0，+)上逐点定义的，n=+1。引理 16 假设 uC(0，1)L 0，1，有 v0阶导数Dv0+C(0，1)L 0，1，则Iv0+Dv0+u(t)=u(t)+C1tv1+C2tv2+CNtvN，其中，CiR(i=1，2，N)，N 是大于或等于 v 的最小整数。为下文叙述方便，现给出如下假设条件:(H1)(v)(v)m2i=1i(v)(vi)(i)vi10。(H2)h:(0，1)0，)连续，h(t)不恒等于 0。允许 h(t)在 t=0，1 处奇异，且0 10G(1，t)h(t)dt+。(2)(H3)f:0，1 0，+)0，+)连续。引理 2给定 yC 0，1，边值问题Dv0+u(t)+y(t)=0(0t1，n1vn)，u(0)=u(0)=u(0)=u(n2)(0)=0(n3)，(D0+u(t)t=1=m2i=1i(Di0+u(t)t=i(1，in2)(3)有唯一解u(t)=10G(t，s)y(s)ds，这里i(0，1)，012m21，i 0，)，其中G(t，s)=1p(0)(v)p(s)(1s)v1tv1(ts)v1p(0)(0st1)，1p(0)(v)(1s)v1p(s)tv1(0ts1)，p(s)=(v)(v)sii(v)(vi)is1s()vi1(1s)i。证明应用引理 1，将微分方程(3)转化为等价的积分方程u(t)=C1tv1+C2tv2+CntvnIv0+y(s)。由 u(0)=u(0)=u(0)=u(n2)(0)=0，可得C2=C3=Cn=0。又由D tv1=(v)(v)tv1，再代入边值条件(D0+u(t)t=1=m2i=1i(Di0+u(t)t=i，可得C1(v)(v)1v11(v)10(1s)v1y(s)ds=69华 南 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)第 54 卷m2i=1iC1(v)(vi)(i)vi11(vi)i0(is)vi1y(s)ds，整理得C1=1(v)(v)m2i=1i(v)(vi)(i)vi11(v)10(1s)v1y(s)dsm2i=1i1(vi)i0(is)vi1y(s)ds。于是u(t)=tv1(v)(v)m2i=1i(v)(vi)(i)vi11(v)10(1s)v1y(s)dsm2i=1i1(vi)i0(is)vi1y(s)ds1(v)t0(ts)v1y(s)ds=10(1s)v1(v)p(0)p(s)tv1y(s)ds1(v)t0(ts)v1y(s)ds=t0(1s)v1p(s)tv1(ts)v1p(0)(v)p(0)y(s)ds+1t(1s)v1p(s)tv1(v)p(0)y(s)ds=10G(t，s)y(s)ds。证毕。引理 3函数 p(s)在 0，1 上单调不减且恒正。证明因为p(s)=sii(v)(vi)(vi1)(is)vi2(1s)i+1v(1s)i+sii(v)(vi)(i+1v)(is)vi1(1s)iv(1s)i+sii(v)(vi)(i)(is)vi1(1s)i+1v(1s)i1=sii(v)(vi)(is)vi2(1s)iv(1s)i(vi1)(1s)+(i+1v)(is)+(i)(is)=sii(v)(vi)(is)vi2(1s)v(vi1)(1s)(vi1)(is)+(i)(is)0，故 p(s)单调不减。又根据假设 H1()知，p(0)=(v)(v)m2i=1i(v)(vi)(i)vi10，从而知 p(s)p(0)0。证毕。引理 4函数 G(t，s)具有如下性质:(1)t，s 0，1，有 G(t，s)0;(2)t 0，1，有 G(t，s)G(1，s);(3)14t34，有 G(t，s)(14)v1G(1，s)。证明(1)当 0st1 时，有G(t，s)=1p(0)(v)tv1p(s)(1s)v1p(0)(ts)v1)=tv1p(0)(v)p(s)(1s)v1p(0)1st()v1tv1p(s)p(0)(v)(1s)v1 1st()v1tv1p(s)p(0)(v)(1s)v1 1st()v10。当 0ts1 时，显然有 G(t，s)0。综上可知，t，s 0，1，有 G(t，s)0。(2)因为tG(t，s)=1p(0)(v)(v1)tv2p(s)(1s)v1(v1)(ts)v2p(0)(0st1)，1p(0)(v)(v1)(1s)v1p(s)tv2(0ts1)，所以，当 0st1 时，有tG(t，s)=1p(0)(v)(v1)tv2p(s)(1s)v1(v1)(ts)v2p(0)(v1)tv2(v)(1s)v11st()v20。当 0ts1 时，显然有tG(t，s)0。79第 6 期赵微等:带有分数阶导数边值条件的分数阶微分方程正解的存在性综上可知，t 0，1，有tG(t，s)0，所以G(t，s)关于 t 单调不减。因此，t 0，1，有 G(t，s)G(1，s)。(3)当 1/4t3/4 且 0st 时，有G(t，s)=tv1p(0)(v)p(s)(1s)v1p(0)(1st)v1tv1p(0)(v)p(s)(1s)v1p(0)(1s)v1=tv1G(1，s)(14)v1G(1，s)。当 1/4t3/4 且 0ts 时，有G(t，s)=1p(0)(v)(1s)v1p(s)tv1tv1G(1，s)(14)v1G(1，s)。证毕。在 Banach 空间 C 0，1 中，定义范数为u=max0t1|u(t)|，令 P=u C 0，1:u(t)0，t 0，1 ，则 P 是 C 0，1上的正锥。取P1=u P:min1/4t3/4u(t)lu，其中 l=(14)v1。定义如下算子:(Au)(t)=10G(t，s)h(s)f(